Бу терминның башка аңлатмалары да бар, аларны карау өчен
Гамильтониан битенә күчегез.
Гамильтониан яки Һамилтониан квант теориясендә (tat.lat. Hamiltonian (kvant mexanikası) (үле сылтама) ) — системаның тулы энергиясенең операторы.
Гамильтониан аты ирланд математигы Уильям Һамилтон исеменнән чыга.
Гамильтониан спектры - системаның тулы энергиясенең үлчәгәндә мөмкин булган микъдарлар күплеге.
Гамильтониан спектры өзлексез һәм дискрет булу ихтимал. Кайбер очракта (Кулон потенциалы өчен) спектр өзлексез һәм дискрет өлешләрдән гыйбарәт.
Гамильтониан квант халәтләренең вакытка бәйле үзгәрешләрен булдыра.
|
ψ
(
t
)
⟩
{\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle }
t -вакытында өчен:
H
|
ψ
(
t
)
⟩
=
i
ℏ
∂
∂
t
|
ψ
(
t
)
⟩
.
{\displaystyle H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle .}
Бу формула Шрөдингер тигезләмәсе исемләнә. Әгәр H вакытка бәйле булмаса, шунда Шрөдингер тигезләмәсе чишүе:
|
ψ
(
t
)
⟩
=
e
−
i
H
t
/
ℏ
|
ψ
(
0
)
⟩
.
{\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =e^{-iHt/\hbar }\left|\psi (0)\right\rangle .}
Вакытлыча үзгәреш операторы яки йомык квант системасы пропагатор ы:
U
=
e
−
i
H
t
/
ℏ
{\displaystyle U=e^{-iHt/\hbar }}
Потенциаль энергия булмаганда, Гамильтониан бер үлчәнеш өчен:
H
^
=
−
ℏ
2
2
m
∂
2
∂
x
2
{\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}}
H
^
=
−
ℏ
2
2
m
∇
2
=
−
ℏ
2
2
m
Δ
{\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta }
Даими потенциал V = V 0 очрагында Гамильтониан бер үлчәнеш өчен:
H
^
=
−
ℏ
2
2
m
∂
2
∂
x
2
+
V
0
{\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V_{0}}
өч үлчәнеш өчен:
H
^
=
−
ℏ
2
2
m
∇
2
+
V
0
{\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{0}}
Гади гармоник бер үлчәнешле осциллятор өчен:
V
=
k
2
x
2
=
m
ω
2
2
x
2
{\displaystyle V={\frac {k}{2}}x^{2}={\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}}
биредә әйләнү ешлыгы, сыгылмалылык коэффициенты k , һәм осцилляторның массасы m үзара бәйләшәләр:
ω
2
=
k
m
{\displaystyle \omega ^{2}={\frac {k}{m}}}
Шуңа күрә Гамильтониан:
H
^
=
−
ℏ
2
2
m
∂
2
∂
x
2
+
m
ω
2
2
x
2
{\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}}
өч үлчәнеш өчен:
H
^
=
−
ℏ
2
2
m
∇
2
+
m
ω
2
2
r
2
{\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}r^{2}}
r :
r
2
=
r
⋅
r
=
|
r
|
2
=
x
2
+
y
2
+
z
2
{\displaystyle r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =|\mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}
Тулы Гамильтониан - бер үлчәнешле Гамильтонианнар суммасына тигез:
H
^
=
−
ℏ
2
2
m
(
∂
2
∂
x
2
+
∂
2
∂
y
2
+
∂
2
∂
z
2
)
+
m
ω
2
2
(
x
2
+
y
2
+
z
2
)
=
(
−
ℏ
2
2
m
∂
2
∂
x
2
+
m
ω
2
2
x
2
)
+
(
−
ℏ
2
2
m
∂
2
∂
y
2
+
m
ω
2
2
y
2
)
+
(
−
ℏ
2
2
m
∂
2
∂
z
2
+
m
ω
2
2
z
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\\&=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}y^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}z^{2}\right)\\\end{aligned}}}
Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. 5-е изд. Наука, 1976. — 664 с.
Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М.: Мир, 1990. — 720 c.
Дирак П. Принципы квантовой механики. 2-е изд. М.: Наука, 1979. — 480 с.
Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Физматлит, 2008. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — 3000 экз. — ISBN 978-5-9221-0530-9 
