Электромагнит кыры вектор потенциалы

Электромагнит кыры вектор потенциалы яки вектор-потенциал, магнит потенциалы — электродинамикада магнит индукциясен билгеләүче вектор потенциалы, аннан ротор магнит индукциясенә тигез:

$\mathbf {B} =\operatorname {rot} \mathbf {A} =\nabla \times \mathbf {A}$.

Вектор-потенциал 4- үлчәмле электромагнит потенциалының фәза компоненты булып тора.

Скаляр электростатик потенциал энергияне тасвирлый, ә вектор потенциалы импульс төшенчәсе белән бәйле.

Максвелл тигезләмәләре

Максвелл тигезләмәләре скаляр һәм вектор потенциаллары формасында язылып була:

Тигезләмә $\operatorname {div} \mathbf {B} =0$ автоматик рәвештә үтәлә.

Аңлатма $\mathbf {B} =\operatorname {rot} \mathbf {A} =\nabla \times \mathbf {A}$

түбәндәге тигезләмәгә куеп:

$\operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

чыгарабыз:

$\operatorname {rot} \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=0$

Шулай итеп электр кыры скаляр һәм вектор потенциаллары белән билгеләнә:

$\mathbf {E} =-\operatorname {grad} \;\varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$

Максвел тигезләмәсе: $\operatorname {rot} \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$ тигезләмәсенә вектор-потенцалны куеп, чыгарабыз:

$\operatorname {rot} \;\operatorname {rot} \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {j} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(-\operatorname {grad} \;\varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)$

Математик тигезләмә буенча: $\operatorname {rot} \;\operatorname {rot} \mathbf {A} =\operatorname {grad} \;\operatorname {div} \mathbf {A} -\nabla ^{2}\mathbf {A}$,

Шуңа таянып вектор һәм скаляр потенциалларын болай язып була:

$\Delta \mathbf {A} -\operatorname {grad} \left(\operatorname {div} \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {j}$

$\Delta \varphi +{\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {div} \mathbf {A} =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$

Магнит агымы

Стокс теоремасы буенча L контуры аша магнит агымы Ф вектор-потенциалның циркуляциясенә тигез:

$\Phi =\oint \limits _{L}\mathbf {A} \cdot \mathbf {dl}$

Вектор потенциалын көйләү

Түбәндәге үзгәртүләр Максвелл тигезләмәләрен үзгәртмиләр:

$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi$

$\varphi \rightarrow \varphi -{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$

биредә $\psi$ — координатларга һәм вакытка бәйле теләгән функция

Әлеге күренеш калибрлау инвариантлыгы (көйләү үзгәрмәве) дип атала, Нөтер теоремасы буенча аңа электрик коргы саклану кануны туры килә.

Төрле мәсьәләләр өчен төрле көйләү кулланыла, Кулон һәм Лоренц көйләүләре иң таралган.

Кулон көйләве

Кулон көйләве болай билгеләнә:

$\operatorname {div} \mathbf {A} =0$.

Әлеге көйләү магнитостатик (даими электр агымнары белән) системалар өчен кулланыла.

Лоренц көйләве

Лоренц көйләве: 4- үлчәмле потенциалдан дивергенция нульгә тигез:

$\nabla _{\mu }A_{\mu }=\operatorname {div} \mathbf {A} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0$.

Шул очракта тигезләмәләр даламбер операторы ярдәмендә языла:

$\square \mathbf {A} \equiv \Delta \mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {j}$

$\square \varphi \equiv \Delta \varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$

Әлеге көйләү алмаш электр агымнары белән системалар өчен кулланыла.

Квант механикасында

Квант механикасында магнит кыры тәэсирендә кисәкчекнең дулкынча функциясе фазасы болай үзгәрә:

$\Delta \varphi _{H}={\frac {e}{\hbar c}}\int _{S}^{}(\mathbf {A} ,\;d\mathbf {l} ),$

биредә $e$ — электрон коргысы, $c$ — яктылык тизлеге вакуумда, $\hbar$ — Планк даимие

Хәттә $\mathbf {B} =0$, ә $\mathbf {A}$≠0 булган очракта фаза аермасы бар.

Гомумиләштерелгән импульс

Электромагнит кырында хәрәкәтләнә торган кисәкчекнең тулы импульсы:

$\mathbf {P} ={\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+q\mathbf {A}$

Шуңа күрә магнит кырында хәрәкәт иткәндә нәкъ әлеге импульс саклана.

Кисәкчекнең тулы энергиясе белән аналогия күренә:

$E=T+U={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+q\varphi$

T - кинетик энергия

U - потенциаль энергия

Әдәбият

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — («Теоретическая физика», том II).
• Савельев И. В. Курс физики. Т.2. Электричество и магнетизм. Волна. Оптика, 1982, 496 с
• Г. 'т Хоофт, Калибровочные теории сил между элементарными частицами, «Успехи физических наук», 1981, т. 135, вып. 3, с.379. (перевод статьи из «Scientific American», June 1980, Vol. 242, p.90.)
• Коноплева Н. П., Попов В. Н. Калибровочные поля. — М.: Атомиздат, 1972.
• Славнов А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. — М.: Наука, 1978. — 238 с.
• Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 1. Геометрия и классические поля. — М.: УРСС, 1996. — 224 с. — ISBN 5-88417-087-4.
• Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 4. Геометрия и квантовые поля. — М.: УРСС, 2000. — 157 с. — ISBN 5-88417-221-4.