Баштагы функция

Баштагы функция (рус. Первообразная, ингл. Antiderivative) — функция интегралын табу өчен кулланыла торган функция. $f(x)$ функциясенең баштагы функциясе дип, чыгарылмасы $f$ка тигез булган, $F(x)$ функциясен атыйлар. Ягъни: $F'(x)=f(x)$. Баштагы функцияне табу билгесез интеграл табудан гыйбәрәт һәм бу процесс интеграл табу дип атала.

$~f(x)=x^{2}$ өчен баштагы функцияләр күплеге $F(x)=x^{3}/3+C$

Мәйдан баштагы функцияләр аермасына тигез

Мисал: $~f(x)=x^{2}$ өчен баштагы функция $~F(x)={\frac {x^{3}}{3}}$ була. Константадан чыгарылма нульгә тигез, шуңа күрә гомуми баштагы функция болай күренә: $F(x)=x^{3}/3+C$ биредә $C$ - теләгән сан. Мондый баштагы функцияләрнең графиклары бер-берсенә карата вертикаль буенча күчкәннәр, һәм бу күчеш $C$ даимиенә генә бәйле.

Ньютон-Лейбниц тигезләмәсе

Ньютон-Лейбниц тигезләмәсе буенча баштагы функцияләр аермасы интегралга тигез:

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).$

Билгесез интеграл

$f(x)$ функциянең баштагы функцияләре күплеге - билгесез интеграл дип йөртелә, анда чикләр язылмый:

$\int f(x)\,dx$

Һәрбер баштагы функция $F$ өзлексез функциядән $f$ билгесез интеграл ярдәмендә күрсәтелеп була:

$F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt.$

Кайбер өзлекле функцияләр баштагы функциягә ия була:

Мисал өчен: $f(x)=2x\sin {\frac {1}{x}}-\cos {\frac {1}{x}}$  :$f(0)=0$ өзлекле $x=0$, ләкин баштагы функ. $F(x)=x^{2}sin{\frac {1}{x}}$ с $F(0)=0$ бар

Шулай ук элементар функцияләр ярдәмендә күрсәтелеп булмаган баштагы функцияләр бар:

$\int e^{-x^{2}}\,dx,\qquad \int {\frac {\sin(x)}{x}}\,dx,\qquad \int {\frac {1}{\ln x}}\,dx$.

Кайбер баштагы функцияләр

Дәрәҗәле функцияләр

$\int k\,dx=kx+C$

$\int x^{a}\,dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C\qquad {\text{(for }}a\neq -1{\text{)}}\,\!$

$\int (ax+b)^{n}\,dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}\,\!$

$\int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C$

гомуми очракта,

$\int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}$

$\int {\frac {c}{ax+b}}\,dx={\frac {c}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C$

Экспонент функцияләр

$\int e^{ax}\,dx={\frac {1}{a}}e^{ax}+C$

$\int f'(x)e^{f(x)}\,dx=e^{f(x)}+C$

$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C$

Логарифмик функцияләр

$\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C$

$\int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C$

Тригонометрик функцияләр

$\int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C$

$\int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C$

$\int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C=\ln {\left|\sec {x}\right|}+C$

$\int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C$

$\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C$

$\int \csc {x}\,dx=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C$

$\int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C$

$\int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C$

$\int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C$

$\int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C$

$\int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C$

$\int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C$

$\int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}\sec x\tan x+{\frac {1}{2}}\ln |\sec x+\tan x|+C$

$\int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx$

$\int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx$

Кире тригонометрик функцияләр

$\int \arcsin {x}\,dx=x\arcsin {x}+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq +1$

$\int \arccos {x}\,dx=x\arccos {x}-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq +1$

$\int \arctan {x}\,dx=x\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x$

$\int \operatorname {arccot} {x}\,dx=x\operatorname {arccot} {x}+{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x$

$\int \operatorname {arcsec} {x}\,dx=x\operatorname {arcsec} {x}-\ln \vert x\,(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,)\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq +1$

$\int \operatorname {arccsc} {x}\,dx=x\operatorname {arccsc} {x}+\ln \vert x\,(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,)\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq +1$

Гиперболик функцияләр

$\int \sinh x\,dx=\cosh x+C$

$\int \cosh x\,dx=\sinh x+C$

$\int \tanh x\,dx=\ln \cosh x+C$

$\int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C,{\text{ for }}x\neq 0$

$\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\arctan \,(\sinh x)+C$

$\int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0$

Кире гиперболик функцияләр

$\int \operatorname {arsinh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arsinh} \,x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C,{\text{ for all real }}x$

$\int \operatorname {arcosh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcosh} \,x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C,{\text{ for }}x\geq 1$

$\int \operatorname {artanh} \,x\,dx=x\,\operatorname {artanh} \,x+{\frac {\ln \left(\,1-x^{2}\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert <1$

$\int \operatorname {arcoth} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcoth} \,x+{\frac {\ln \left(x^{2}-1\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert >1$

$\int \operatorname {arsech} \,x\,dx=x\,\operatorname {arsech} \,x+\arcsin x+C,{\text{ for }}0<x\leq 1$

$\int \operatorname {arcsch} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsch} \,x+\vert \operatorname {arsinh} \,x\vert +C,{\text{ for }}x\neq 0$

Катлаулы функцияләр

$\int \cos ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax+b\cos ax\right)+C$

$\int \sin ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax-a\cos ax\right)+C$

$\int \cos ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax\,\cosh bx+b\cos ax\,\sinh bx\right)+C$

$\int \sin ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax\,\sinh bx-a\cos ax\,\cosh bx\right)+C$

Әдәбият

• В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика»
• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1
• В. М. Бородихин, Высшая математика, учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1