Интеграл

Интеграл - интеграль хисапның төп төшенчәсе, функцияләр, саннар суммасына туры килә, билгеле интеграл функциянең графигы һәм абсцисс күчәре арасындагы мәйданга тигез, димәк кәкре сызыклы трапеция мәйданына тигез.

Риман интегралы - график астындагы кечкенә турыпочмаклар суммасына тигез

Билгеле интеграл фигура мәйданына тигез

Ике үзгәрмә зурлык буенча интеграл табу очрагында, интеграл - функция графигының өслеге астындагы күләмгә тигез.

Риман интегралы

Риман интегралы - интеграл табу иң гади ысулы, Риман суммасы нигезендәге алым, ягъни график астындагы кечкенә турыпочмаклар суммасына тигез.

$S=\sum _{i}f(x_{i})\Delta x_{i}.$

Интеграль сумма: $\sigma _{x}=\sum \limits _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})\Delta x_{i}}$

Бүлемнәр адымы $\delta R=\max(\Delta x_{i})$ нульгә омтылган очракта, интеграль суммалар бертигез санга омтыла, ул интеграл дип йөртелә:

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim \limits _{\delta R\to 0}\sigma _{x}$

Кисемтәләр кечкенә бүлемнәрен ясап, кечкенә турыпочмаклар мәйданнары суммасы $S=\sum _{i}f(x_{i})\Delta x_{i}.$, чик очрагында ($\Delta x_{i}$ нульга омтылса), интеграль сумма интегралга омтыла:

$S=\sum _{i}f(x_{i})\Delta x_{i}\rightarrow \int f(x)dx.$

Ньютон-Лейбниц тигезләмәсе

Ньютон-Лейбниц тигезләмәсе буенча баштагы функцияләр аермасы билгеле интегралга тигез:

$\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(x\right)\vline _{a}^{b}=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

Кайбер билгесез интеграллар

Дәрәҗәле функцияләр

$\int k\,dx=kx+C$

$\int x^{a}\,dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C\qquad {\text{(for }}a\neq -1{\text{)}}\,\!$

$\int (ax+b)^{n}\,dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}\,\!$

$\int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C$

гомуми очракта,

$\int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}$

$\int {\frac {c}{ax+b}}\,dx={\frac {c}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C$

Экспонент функцияләр

$\int e^{ax}\,dx={\frac {1}{a}}e^{ax}+C$

$\int f'(x)e^{f(x)}\,dx=e^{f(x)}+C$

$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C$

Логарифмик функцияләр

$\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C$

$\int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C$

Тригонометрик функцияләр

$\int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C$

$\int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C$

$\int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C=\ln {\left|\sec {x}\right|}+C$

$\int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C$

$\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C$

$\int \csc {x}\,dx=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C$

$\int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C$

$\int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C$

$\int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C$

$\int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C$

$\int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C$

$\int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C$

$\int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}\sec x\tan x+{\frac {1}{2}}\ln |\sec x+\tan x|+C$

$\int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx$

$\int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx$

Кире тригонометрик функцияләр

$\int \arcsin {x}\,dx=x\arcsin {x}+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq +1$

$\int \arccos {x}\,dx=x\arccos {x}-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq +1$

$\int \arctan {x}\,dx=x\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x$

$\int \operatorname {arccot} {x}\,dx=x\operatorname {arccot} {x}+{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x$

$\int \operatorname {arcsec} {x}\,dx=x\operatorname {arcsec} {x}-\ln \vert x\,(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,)\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq +1$

$\int \operatorname {arccsc} {x}\,dx=x\operatorname {arccsc} {x}+\ln \vert x\,(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,)\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq +1$

Һиперболик функцияләр

$\int \sinh x\,dx=\cosh x+C$

$\int \cosh x\,dx=\sinh x+C$

$\int \tanh x\,dx=\ln \cosh x+C$

$\int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C,{\text{ for }}x\neq 0$

$\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\arctan \,(\sinh x)+C$

$\int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0$

Кире һиперболик функцияләр

$\int \operatorname {arsinh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arsinh} \,x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C,{\text{ for all real }}x$

$\int \operatorname {arcosh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcosh} \,x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C,{\text{ for }}x\geq 1$

$\int \operatorname {artanh} \,x\,dx=x\,\operatorname {artanh} \,x+{\frac {\ln \left(\,1-x^{2}\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert <1$

$\int \operatorname {arcoth} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcoth} \,x+{\frac {\ln \left(x^{2}-1\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert >1$

$\int \operatorname {arsech} \,x\,dx=x\,\operatorname {arsech} \,x+\arcsin x+C,{\text{ for }}0<x\leq 1$

$\int \operatorname {arcsch} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsch} \,x+\vert \operatorname {arsinh} \,x\vert +C,{\text{ for }}x\neq 0$

Катлаулы функцияләр

$\int \cos ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax+b\cos ax\right)+C$

$\int \sin ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax-a\cos ax\right)+C$

$\int \cos ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax\,\cosh bx+b\cos ax\,\sinh bx\right)+C$

$\int \sin ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax\,\sinh bx-a\cos ax\,\cosh bx\right)+C$

Әдәбият

• В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика»
• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1
• Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн с помощью системы
• В. М. Бородихин, Высшая математика, учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1