Набла операторы (Һамилтон операторы) — вектор дифференциаль операторы, аның компонентлары координаталар буенча аерым чыгарылмага тигез.
Набла
∇
{\displaystyle \nabla }
символы белән билгеләнә, Юникодта U+2207
, ∇.
Өч үлчәмле Евклид фәзасында турыпочмак Декарт координатларында набла операторы болай билгеләнә:
∇
=
∂
∂
x
i
→
+
∂
∂
y
j
→
+
∂
∂
z
k
→
{\displaystyle \nabla ={\partial \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \over \partial z}{\vec {k}}}
,
биредә
i
→
,
j
→
,
k
→
{\displaystyle {\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}}
—
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
күчәрләре буенча берәмлекле векторлар.
Набла операторы ярдәмендә вектор анализының төп гамәлләре тасвирлана: grad (градиент ), div (дивергенция ), rot (ротор ), шулай ук Лаплас операторы.
Физикада һәм математикада киң кулланыла.
n -үлчәмле набла операторы n -үлчәмле фәзада билгеләнә:
∇
=
∂
∂
x
1
e
→
1
+
∂
∂
x
2
e
→
2
+
.
.
.
+
∂
∂
x
n
e
→
n
{\displaystyle \nabla ={\partial \over \partial x_{1}}{\vec {e}}_{1}+{\partial \over \partial x_{2}}{\vec {e}}_{2}+...+{\partial \over \partial x_{n}}{\vec {e}}_{n}}
,
биредә
e
→
1
,
e
→
2
,
.
.
.
,
e
→
n
{\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},...,{\vec {e}}_{n}}
— берәмлекле векторлар
Набла операторы
∇
{\displaystyle \nabla }
һәм
ϕ
{\displaystyle \phi }
функциясе скаляр тапкырчыгышы градиентка тигез (вектор ):
∇
ϕ
=
∂
ϕ
∂
x
i
→
+
∂
ϕ
∂
y
j
→
+
∂
ϕ
∂
z
k
→
=
grad
ϕ
{\displaystyle \nabla \phi ={\partial \phi \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \phi \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \phi \over \partial z}{\vec {k}}=\mathbf {\operatorname {grad} } \,\phi }
,
Набла операторы
∇
{\displaystyle \nabla }
һәм
a
→
{\displaystyle {\vec {a}}}
векторы скаляр тапкырчыгышы дивергенциягә тигез (скаляр ):
∇
⋅
a
→
=
∇
x
a
x
+
∇
y
a
y
+
∇
z
a
z
=
∂
a
x
∂
x
+
∂
a
y
∂
y
+
∂
a
z
∂
z
=
div
a
→
{\displaystyle \nabla \cdot {\vec {a}}=\nabla _{x}a_{x}+\nabla _{y}a_{y}+\nabla _{z}a_{z}={\partial a_{x} \over \partial x}+{\partial a_{y} \over \partial y}+{\partial a_{z} \over \partial z}=\mathbf {\operatorname {div} } \,{\vec {a}}}
,
∇
⋅
a
→
{\displaystyle \nabla \cdot {\vec {a}}}
шулай ук
(
∇
,
a
→
)
{\displaystyle (\nabla ,{\vec {a}})}
дип языла
Набла операторы
∇
{\displaystyle \nabla }
һәм
a
→
{\displaystyle {\vec {a}}}
векторы вектор тапкырчыгышы роторга тигез (вектор ):
∇
×
a
→
=
|
i
→
j
→
k
→
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
a
x
a
y
a
z
|
=
(
∂
a
z
∂
y
−
∂
a
y
∂
z
)
i
→
+
(
∂
a
x
∂
z
−
∂
a
z
∂
x
)
j
→
+
(
∂
a
y
∂
x
−
∂
a
x
∂
y
)
k
→
=
rot
a
→
{\displaystyle \nabla \times {\vec {a}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{\partial \over \partial x}&{\partial \over \partial y}&{\partial \over \partial z}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\end{vmatrix}}=\left({\partial {a_{z}} \over \partial y}-{\partial {a_{y}} \over \partial z}\right){\vec {i}}\ +\ \left({\partial {a_{x}} \over \partial z}-{\partial {a_{z}} \over \partial x}\right){\vec {j}}\ +\ \left({\partial {a_{y}} \over \partial x}-{\partial {a_{x}} \over \partial y}\right){\vec {k}}=\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {a}}}
∇
×
a
→
{\displaystyle \nabla \times {\vec {a}}}
шулай ук
[
∇
,
a
→
]
{\displaystyle [\nabla ,{\vec {a}}]}
дип языла
Набла операторлары
∇
⋅
∇
=
∇
2
{\displaystyle \nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}
скаляр тапкырчыгышы Лаплас операторы (скаляр операторы) дип атала., ул
Δ
{\displaystyle \ \Delta }
дип билгеләнә. Декарт координатларында болай билгеләнә:
Δ
=
∂
2
∂
x
2
+
∂
2
∂
y
2
+
∂
2
∂
z
2
{\displaystyle \Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}}
.
grad
(
ϕ
ψ
)
=
∇
(
ϕ
ψ
)
=
ψ
∇
ϕ
+
ϕ
∇
ψ
=
ψ
grad
ϕ
+
ϕ
grad
ψ
{\displaystyle \mathbf {\operatorname {grad} } (\phi \psi )=\mathbf {\nabla } (\phi \psi )=\psi \mathbf {\nabla } \phi +\phi \mathbf {\nabla } \psi =\psi \,\mathbf {\operatorname {grad} } \,\phi +\phi \,\mathbf {\operatorname {grad} } \,\psi }
div
(
grad
ϕ
)
=
∇
⋅
(
∇
ϕ
)
=
(
∇
⋅
∇
)
ϕ
=
∇
2
ϕ
=
Δ
ϕ
{\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {\operatorname {grad} } \,\phi )=\nabla \cdot (\nabla \phi )=(\nabla \cdot \nabla )\phi =\nabla ^{2}\phi =\Delta \phi }
Скаляр һәм вектор тапкырчыгышлары вариантлары 7 төрле икенче буын операторга китерә:
div
(
grad
f
)
=
∇
⋅
(
∇
f
)
{\displaystyle \mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \cdot (\nabla f)}
rot
(
grad
f
)
=
∇
×
(
∇
f
)
{\displaystyle \mathbf {\operatorname {rot} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \times (\nabla f)}
Δ
f
=
∇
2
f
{\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f}
grad
(
div
v
→
)
=
∇
(
∇
⋅
v
→
)
{\displaystyle \mathbf {\operatorname {grad} } \,(\mathbf {\operatorname {div} } \,{\vec {v}})=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})}
div
(
rot
v
→
)
=
∇
⋅
(
∇
×
v
→
)
{\displaystyle \mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {v}})=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}})}
rot
(
rot
v
→
)
=
∇
×
(
∇
×
v
→
)
{\displaystyle \mathbf {\operatorname {rot} } \,(\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {v}})=\nabla \times (\nabla \times {\vec {v}})}
Δ
v
→
=
∇
2
v
→
{\displaystyle \Delta {\vec {v}}=\nabla ^{2}{\vec {v}}}
Яссы кырлар өчен әлеге операторлар бәйсез түгел:
rot
(
grad
f
)
=
∇
×
(
∇
f
)
=
(
∇
×
∇
)
f
=
0
{\displaystyle \mathbf {\operatorname {rot} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \times (\nabla f)=(\nabla \times \nabla )f=0}
div
(
rot
v
→
)
=
∇
⋅
(
∇
×
v
→
)
=
(
∇
×
∇
)
⋅
v
→
=
0
{\displaystyle \mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {v}})=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}})=(\nabla \times \nabla )\cdot {\vec {v}}=0}
div
(
grad
f
)
=
∇
⋅
(
∇
f
)
=
(
∇
⋅
∇
)
f
=
∇
2
f
=
Δ
f
{\displaystyle \mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \cdot (\nabla f)=(\nabla \cdot \nabla )f=\nabla ^{2}f=\Delta f}
(
∇
×
(
∇
×
v
→
)
)
=
∇
(
∇
⋅
v
→
)
−
∇
2
v
→
{\displaystyle (\nabla \times (\nabla \times {\vec {v}}))=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})-\nabla ^{2}{\vec {v}}}
Берсе векторлар тензор тапкырчыгышы ярдәмендә языла:
∇
(
∇
⋅
v
→
)
=
∇
⋅
(
∇
⊗
v
→
)
{\displaystyle \nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})=\nabla \cdot (\nabla \otimes {\vec {v}})}
Набла операторы гади вектордан аерылып тора, мәсәлән әлеге оператор векторлар белән коммутатив булмый:
∇
⋅
v
→
≠
v
→
⋅
∇
{\displaystyle \nabla \cdot {\vec {v}}\neq {\vec {v}}\cdot \nabla }
,
z
=
x
y
,
∇
z
=
∂
z
∂
x
i
→
+
∂
z
∂
y
j
→
=
y
i
→
+
x
j
→
{\displaystyle z=xy,\nabla z={\partial z \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial z \over \partial y}{\vec {j}}=y{\vec {i}}+x{\vec {j}}}
z
=
30
y
x
3
,
∇
z
=
∂
z
∂
x
i
→
+
∂
z
∂
y
j
→
=
90
y
x
2
i
→
+
30
x
3
j
→
{\displaystyle z=30yx^{3},\nabla z={\partial z \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial z \over \partial y}{\vec {j}}=90yx^{2}{\vec {i}}+30x^{3}{\vec {j}}}
Александрова Н. В. Формирование основных понятий векторного исчисления. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1982. — № 26. — С. 205-234.
Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с.
Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002)
Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с.
Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматлит, 1963, 411 с.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М.: Наука, 1966.