Эйлер бердәйлеге

Эйлер бердәйлеге — биш фундаменталь математик константаларны бәйләүче билгеле бердәйлек:

Эйлер бердәйлеге
... хөрмәтенә аталган	Леонард Эйлер
Кайда өйрәнелә	комплексный анализ[d]
Ачучы яки уйлап табучы	Леонард Эйлер
Канун яки назарияне тасвирлаучы фурмула	$e^{\pi i}+1=0$
Обозначение в формуле	$e$ һәм $i$
Нинди вики-проектка керә	Проект:Математика[d]
Эйлер бердәйлеге Викиҗыентыкта

e^z экспоненциаль функциясенә (1 + z/N)^N дәвамлыгының N чиксезлеккә омтылганда чикләнмәсе дип билгеләмә бирергә мөмкин, шуңа күрә e^iπ (1 + iπ/N)^N-ның чикләнмәсе. Бу анимациянең һәр кадрында (1 + iπ/N)^k саннары сурәтләнгән, монда k 0-дән N-га кадәр урап чыга, ә N 1-дән 100-гә кадәр төрле арта баручы кыйммәтләр кабул итә.

$e^{i\pi }+1=0,$

монда

$e$ — е саны, яки натураль логарифмның нигезе,

$i$ — уйланма берәмлек,

$\pi$ — пи, әйләнә озынлыгының аның диаметры озынлыгына чагыштырмасы,

$1$ — берәмлек, кабатлау операциясе буенча нейтраль элемент,

$0$ — нуль, кушу операциясе буенча нейтраль элемент.

Тарихы

Эйлер формуласыннан шунда ук килеп чыккан бу бердәйлек Эйлер тарафыннан 1740 елда бастырып чыгарыла. Бердәйлек фәнни дөньяга тирән тәэсир ясый. Хәтта аны математиканың бердәмлегенең символы кебек итеп мистик аңлатырга маташулар була: 0 һәм 1 арифметикага карый, уйланма берәмлек — алгебрага, $\pi$ саны — геометрияга, ә e саны — математик анализга.

Нәтиҗә

Эйлер бердәйлеге — комплекслы анализдан Эйлер формуласының үзенә башка очрагы:

теләсә нинди чын $x$ өчен $e^{ix}=\cos x+i\sin x$.

($\sin$ һәм $\cos$ тригонометрик функцияләренең аргументлары радианнарда алынуын билгеләп китик). Атап әйткәндә

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .$

$\cos \pi =-1$

һәм

$\sin \pi =0,$

булганлыктан,

$e^{i\pi }=-1$

булуы килеп чыга, монннан бердәйлек килеп чыга:

$e^{i\pi }+1=0.$

Мәдәнияттә

• Коидзуми, Такаси фильмы Эйлер бердәйлегена багышланган - «The Professor's Beloved Equation (film)».