E (сан)

I төр Эйлер саннары белән бутамаска Эйлер — Маскерони константасы белән бутамаска

Иррациональ сан Чын константа|inline=1}}
Исәпләү системасы	$e$ санына баса
Икеле исәпләү системасы	10,101101111110000101010001011001…
Унарлы исәпләү системасы	2,7182818284590452353602874713527…
Ун алтылы исәпләү системасы	2,B7E151628AED2A6A…
Алтмышлы исәпләү системасы	2; 43 05 48 52 29 48 35 …
Рациональ якынлаулар	8/3; 11/4; 19/7; 87/32; 106/39; 193/71; 1264/465; 2721/1001; 23225/8544 (төгәллеге арта бару тәртибендә тезеп язылган)
Дәвамлы вакланма	[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, …] (Бу дәвамлы вакланма периодлы түгел. Сызыклы нотацияда язылган)

2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260 5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901 1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680 8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069 5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760 6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416 9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696 7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312 7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825 2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117 3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429 5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509 9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422 8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496 8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418 4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016 7683964243 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051 0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 9570350354

---

e санының өтердән соң беренче 1000 тамгасы

(Калып:OEIS)

$1\leq x\leq e$ кисәгендә $y={\frac {1}{x}}$ графигы астындагы өлкәнең мәйданы 1-гә тигез

e — бу ниндидер шундый a саны, монда f (x) = a^x күрсәткечле функциясе (күк сызык) чыгарылмасының x = 0 ноктасындагы кыйммәте (тиюче туры сызыкның авышлык почмагының тангенсы) (кызыл сызык) 1-гә тигез. Чагыштыру өчен 2^x функциясенең (пунктирлы сызык) һәм 4^x функциясенең графигы бирелгән (штрихлы сызык); алар өчен тиюче туры сызыкларның авышлык почмаклары тангенсы 1-дән аермалы

e — математик константа, иррациональ һәм трансцендент сан, натураль логарифмның нигезе. Якынча 2,71828 тигез. Кайвакыт $e$ санын Эйлер саны яки Непер саны дип атыйлар. Бәләкәй «e» латин хәрефе белән тамгалана.

${\sqrt[{x}]{x}}$ функциясе максимумын $x=e$ ноктасында кабул итә .

e саны дифференциаль һәм интеграль исәпләүдә, шулай ук математиканың башка күп бүлекләрендә мөһим роль уйный. $e^{x}$ функциясе (экспонента) «үз-үзенә» интеграцияләнә һәм дифференцияләнгәнлектән, $e$ нигезе буенча логарифмнар натураль логарифм итеп кабул ителәләр.

Билгеләмә бирү ысуллары

e санына берничә ысул белән билгеләмә бирергә мөмкин.

• Чикләмә аша:

  $e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$ (икенче бик якшы чикләмә).

  $e=\lim \limits _{n\to \infty }n\cdot {\bigg (}{\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}{\bigg )}^{\frac {1}{n}}$ (Муавр — Стирлинг формуласы).

• Рәт суммасы буларак:

  $e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$ яки ${\frac {1}{e}}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}$.

  $\int \limits _{1}^{a}{\frac {dx}{x}}=1.$ шарты үтәлгән бердән-бер $a$ саны буларак.

  ${\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}.$ тигезлеге дөрес булган бердән-бер уңай $a$ саны буларак.

Үзенчәлекләре

• Экспонентаның чыгарылмасы экспонентаның үзенә тигез:${\frac {de^{x}}{dx}}=e^{x}.$
  Бу үзенчәлеге дифференциаль тигезләмәләрне эшләгәндә мөһим роль уйный. Шулай, мәсәлән, ${\frac {df(x)}{dx}}=f(x)$ дифференциаль тигезләмәсенең бердән-бер чыгарылышы булып $f(x)=ce^{x}$ функциясе тора, монда $c$ — теләсә нинди константа.
• $e$ саны иррациональ һәм хәтта трансцендент сан. Аның трансцендентлыгы бары тик 1873 еллда Шарль Эрмит тарафынан исбат ителә . $e$ — саны нормаль сан дип фараз ителә, ягъни аның язылышында төрле цифрларзың очрау ихтималлыгы тигез.

Иррациональлеген исбатлау

$e$ саны рациональ дип уйлыйк. Ул чакта $e=p/q$, монда $p$ — бөтен, ә $q$ — натураль сан. Димәк $p=eq$ Тигезлектең ике ягын да $(q-1)!$-га тапкырлап, табабыз $p(q-1)!=eq!=q!\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}=\sum _{n=0}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}+\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}$ $\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}$-ны сул якка чыгарабыз: $\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=p(q-1)!-\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}$ Уң яктагы бөтен кушылучылар да бөтен, шулай булгач, сул яктагы сумма да бөтен. Ләкин бу сумма уңай да, димәк, ул 1-дән бәләкәй түгел. Икенче яктан, $\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{m=1}^{\infty }{q! \over (q+m)!}=\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)...(q+m)}<\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)^{m}}$ Уң яктагы геометрик прогрессиянең суммасын исәпләп, табабыз: $\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<{1 \over q}$ $q\geq 1$ булганлыктан, $\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<1$ Капма-каршылыкка киләбез.

• e саны исәпләп була торган сан (димәк, арифметик сан да) булып тора.
• $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$, Эйлер формуласын кара, аерым очракта
  • $e^{i\pi }+1=0.$
  • $e=\cos(i)-i\sin(i)=\sinh(1)+\cosh(1)$
• $e$ һәм $\pi$ саннарын бәйләүче тагын формулалар:
• «Пуассон интегралы» яки «Гаусс интегралы» дип йөртелгән формулалар

  $\int \limits _{-\infty }^{\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}$

• чикләмә

  $e=\lim \limits _{n\to \infty }n\cdot {\bigg (}{\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}{\bigg )}^{\frac {1}{n}}$

• Теләсә нинди z комплекслы саны өчен түбәндәге тигезлекләр дөрес:

  $e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.$

• e саны түбәндәгечә чиксез чылбырлы вакланмага таркала:

  $e=[2;\;1,2,1,\;1,4,1,\;1,6,1,\;1,8,1,\;1,10,1,\ldots ]$, ягъни

  $e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

• Яки аңа эквивалентлы:

  $e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {2}{3+{\cfrac {3}{4+{\cfrac {4}{\ldots }}}}}}}}}}$

• Күп сандагы тамгаларны тиз исәпләү өчен икенсе таркатманы куллану уңайлырак:

  ${\frac {e+1}{e-1}}=2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{\ldots }}}}}}}}$

• $e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.$
• Евгений-Шарль Каталан тәкдим иткәнчә:

  $e=2\cdot {\sqrt {\frac {4}{3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}}\cdot {\sqrt[{8}]{\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}}\cdot {\sqrt[{16}]{\frac {18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32}{17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31}}}\cdots$

• Кабатлау аша күрсәтү:

  $e={\sqrt {3}}\cdot \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(2k+3\right)^{k+{\frac {1}{2}}}\left(2k-1\right)^{k-{\frac {1}{2}}}}{\left(2k+1\right)^{2k}}}$

• Белл саны аша

$e={\frac {1}{B_{n}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}$

• $e$ санының иррациональлек үлчәме $2$-гә тигез (иррациональ саннар өчен мөмкин булган иң бәләкәй кыйммәт).

Тарихы

Бу санны кайсы бер очракта «Гаҗәеп логарифмнар таблицасын тасвирлау» (1614 ел) эше авторы шотланд галиме Джон Непер хөрмәтенә непер саны дип тә атыйлар. Ләкин бу исем бик үк бармый, чөнки анда $x$ санының логарифмы $10^{7}\cdot \,\log _{1/e}\left({\frac {x}{10^{7}}}\right)$-гә тигез. Беренче тапкыр константа, Неперның югарыда телгә алынган эшенең 1618 елда бастырылып чыккан инглиз теленә тәржемәсендә яшерен рәвештә бар. Яшерен, чөнки анда бары тик натураль логарифмнарның кинематик фекерләүдән чыгып билгеләнгән таблицасы гына бар, ә константа үзе юк. Таблицаның авторы инглиз математигы Уильям Отред дип фараз ителә. Константаның үзен беренче тапкыр швейцар математигы Якоб Бернулли процентлы керемнең чикләмә зурлыгы турында мәсьәләне эшләү барышында исәпләп чыгарган. Әгәр баштагы сумма $\$1$ һәм ел азагында бер тапкыр еллык $100\%$ өстәлсә, нәтиҗәдә сумма $\$2$ булуын ачыклаган. Ләкин шул ук процентты елына ике тапкыр өстәсәң, ул чакта $\$1$ ике тапкыр $1,5$-кә кабатлана, нәтиҗәдә $\$1,00\cdot 1,5^{2}=\$2,25$ килеп чыга. Процентны кварталга бер тапкыр өстәү $\$1,00\cdot 1,25^{4}=\$2,44140625$ нәтиҗәсенә китерә һ.б. алга таба шулай. Бернулли, әгәр процент өстәү ешлыгын чиксез арттырсаң, катлаулы процент очрагында процентлы керемнең чикләмәсе бар: $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.$ һәм бу чикләмә $e~(\approx 2,71828)$ санына тигез икәнен күрсәткән. $\$1,00\cdot (1+{\frac {1}{12}})^{12}=\$2,613035...$ $\$1,00\cdot (1+{\frac {1}{365}})^{365}=\$2,714568...$ Шулай итеп, $e$ константасы максималь ешлыктагы еллык $100\%$ капиталлаштыру очрагында мөмкин булган максималь еллык керемне аңлата. Беренче билгеле булган, анда $b$ хәрефе белән тамгаланган, бу константаны куллану Готфрид Лейбницның 1690—1691 елларда Гюйгенс Христианга язган хатында очрый. $e$ хәрефен 1727 елда Эйлер куллана башлай, беренче тапкыр ул Эйлерның немец математигы Кристиан Гольдбахка 1731 елның 25 ноябрендә язган хатында очрый, ә бу хәреф белән беренче басмасы аның «Механика, яки аналитик тасвирланган хәрәкәт турындагы фән» хезмәте була, 1736 ел. Шуңа ярашлы, $e$ санын гадәттә Эйлер саны дип атыйлар. Соңрак кайсыбер галимнәр $c$ хәрефен куллануга карамастан, $e$ хәрефе ешрак кулланыла һәм хәзерге көндә стандарт тамгаланышы булып тора. Ни өчен нәкъ $e$ хәрефе сайланган икәне анык билгеле түгел. Бәлки, exponential («күрсәткечле», «экспоненциаль») сүзе шул хәрефтән башлануы белән бәйледер. Икенче фараз буенча, $a,~b,~c$ һәм $d$ хәрефләре башка максатларда җитәрлек еш кулланылалар, һәм $e$ беренче «буш» хәреф була. Шулай ук $e$ хәрефе Эйлер (Euler) фамилиясендә беренче хәреф булуы да игътибарга лаек.

Якынлаулар

• $e$ санын 2,7 һәм кабатланып килүче 18, 28, 18, 28 буларак истә калдырырга мөмкин.
• Мнемоник кагыйдә: ике һәм җиде, алга таба ике тапкыр Лев Толстойның туган елы (1828), алга таба туры почмаклы мөйөшлө тигезьянлы өчпочмакның почмаклары (45, 90 һәм 45 градус). Бу кагыйдәнең бер өлөшен иллюстрациялаучы шигъри мнемофраза: «Экспонентаны хәтерләүнең ысулы гади: ике һәм уннан җиде, икеләтә Лев Толстой» (туу датасы)
• Өтердән соң беренче 12 тамганы хәтердә калдырырга булышлык иткән мнемоник шигырь (сүзләрнең озынлыгы e саны цифрларын кодлый): Мы порхали и блистали, / Но застряли в перевале: / Не признали наши крали / Авторалли.
• e кагизәләре АКШ президенты Эндрю Джексон белән дә бәйле: 2 — шул тапкыр сайланган, 7 — ул АКШ-ның җиденче президенты булган, 1828 — аның сайланган елы, ике тапкыр кабатлана, чөнки Джексон ике тапкыр сайлана. Алга таба — туры почмаклы тигезьянлы өчпочмак.
• Өтердән соң өч тамгага кадәр аныклык белән шулай аталучы «иблис саны» аша: 666-ны, 6−4, 6−2, 6−1 (өч алты, алардан кире тәртиптә икенең тәүге өч дәрәжәсе алып ташлана) цифрларынан торган санга бүлеп була: ${666 \over 245}\approx 2,718$.
• e санын ${\frac {666}{10\cdot {\sqrt {666}}-13}}$ итеп хәтердә калдыру (0,001-дән кимрәк аныклык белән).
• Тупас (0,001-гә кадәр тәгаенлек белән) якынаю e санын $\pi \cdot \cos {\pi \over 6}$ тигез тип карый. Бөтенләй тупас (0,01-гә кадәр тәгаенлек белән) якынаю $5\cdot \pi -13$ аңлатмасы белән бирелә.
• «Боинг-747 кагыйдәсе»: $e\approx 4\cdot \sin 0,747$ 0,0005 тәгаенлеген бирә.
• $10^{-7}$-гә кадәр тәгаенлек белән: $e\,\approx \,3-{\sqrt {\frac {5}{63}}}\,\,\,,$ $10^{-9}\to e\approx 2,7+{\frac {1828}{99990}},$, $4,6\,\cdot \,10^{-10}\,\,\to \,\,e\,\approx \,3-{\frac {93}{94}}{\sqrt {\frac {3}{37}}}$
• $1/e\approx (1-{\frac {1}{10^{6}}})^{10^{6}}$, 0,000001-гә кадәр тәгаенлек белән ;
• 19/7 саны e санынан 0,004-тән әзрәккә артык;
  • 87/32 саны e санынан 0,0005-тән әзрәккә артык;
    • 193/71 саны e санынан 0,00003-тән әзрәккә артык;
      • 1264/465 саны e санынан 0,000003-тән әзрәккә артык;
        • 2721/1001 саны e санынан 0,0000002-нән әзрәккә артык;
          • 23225/8544 саны e санынан 0,00000001-дән әзрәккә артык.
• Ян кырлары төзек өчпочмак, кабыргасының озынлыгы 1-гә тигез булган (0,005-кә кадәр тәгаенлек белән) квадрат пирамиданың өске йөзенең мәйданы.

Ачык калган проблемалар

• $e$ саны периодлар боҗрасы элементы буламы икәне билгесез.
• $\pi$ һәм $e$ саннары алгебраик бәйләнешсезме икәне билгеле түгел]].
• Түбәндәге саннарның берсе өчен дә иррациональлек үлчәме билгеле түгел: $\pi +e,\pi -e,\pi \cdot e,{\frac {\pi }{e}},\pi ^{e},e^{\pi ^{2}},e^{e},2^{e}.$ Аларның берсе өчен дә, хәтта ул сан рациональ сан, алгебраик иррациональ яки трансцендент сан буламы икәнлеге дә билгеле түгел.
• Беренче Скьюз саны $e^{e^{e^{79}}}$ бөтен сан буламы икәнлеге билгесез.

Кызыклы фактлар

• 2004 елда IPO Googl компаниясендә компания үзенең керемен 2 718 281 828 долларга арттырырга ният итүе турысында игълан ителә. Игълан ителгән сан билгеле математик константаның беренче 10 цифры булып тора.
• Теоретик яктан иң җитештерүчән компьютерларзың разрядлыгы $e$-гә тигез булырга тиеш дип исәпләнә. Өчәрле ЭВМ бу кыйммәткә якын, ләкин техник катлаулылык аркасында 1 һәм 0 кулланылган бары тик икеле компьютерлар гына таралу алган.
• Программалау телләрендә $e$ символына саннарның экспоненциаль язылышында 10 саны туры килә, ә Эйлер саны түгел. Бу математик исәпләүләр өчен FORTRAN телен төзү тарихы һәм куллану белән бәйле.

Шулай ук карагыз

• Леонард Эйлер хөрмәтенә аталган объектлар исемлеге

Сылтамалар

• Число e — Кругосвет
• Горобец Б. С. {{{башлык}}} // Наука и жизнь. — № 2. (статья с примерами физического смысла констант $\pi$ и $e$)
• J. J. O'Connor, E. F. Robertson (2001-09). История числа e. MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland.(ингл.)
• e for 2.71828… 2004 елның 9 декабрь көнендә архивланган.(ингл.) (история и правило Джексона)
• «Экспонента и число е: просто и понятно 2015 елның 25 сентябрь көнендә архивланган.» — перевод статьи An Intuitive Guide To Exponential Functions & Number e | BetterExplained(ингл.)