Нөтер теоремасы

Нөтер теоремасы - физик системаның һәрбер өзлексез симметриясенә беркадәр саклану кануны туры килә:

• вакытның беришлегенә энергия саклану кануны туры килә
• фәзаның беришлегенә импульс саклану кануны туры килә
• фәзаның изотроплыгына импульс моменты саклану кануны туры килә
• калибрлау симметриясенә электрик коргы саклану кануны туры килә һ.б.

Энергия саклану канунын күрсәтүче тәҗрибә

Гадәттә теорема тәэсирнең функционалы өчен бирелә һәм ниндидер үзгәртүләр төркеменә карата лагранжианның инвариантлыгын күрсәтә.

Теорема Гөтинген галимнәре Давид Һилберт, Феликс Кляйн һәм Эмми Нөтер тарафыннан күрсәтелгән. 1918 елда Эмми Нөтер теореманың иң таралган тасвирлавын исбатлый.

Шул теорема өчен Павел Александров, Альберт Эйнштейн, Жан Дьөдонне, Һерман Вейль, Норберт Винер галимә Эмми Нөтерны математиканың тарихында иң күренекле хатын итеп санаганнар.

Тасвир

Классик механика

Лагранжианны саклаучы бер параметрлы $g^{s}(q_{i})$ төркеменә саклану кануны (беренче интеграл) туры килә:

$I=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {d}{ds}}g^{s}(q_{i})\right){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$

Әгәр Лагранжиан түбәндәгечә үзгәртүләргә карата инвариант булып кала:

$g^{s}({\vec {q}})={\vec {q}}_{0}+s{\vec {\psi }}({\vec {q}},\;t)$

${\frac {d}{ds}}L({\vec {q}}_{0}+s{\vec {\psi }}({\vec {q}},\;t),\;{\dot {{\vec {q}}_{0}}}+s{\dot {\vec {\psi }}}({\vec {q}},\;t),\;t)=0$ биредә $s=0$

Шул очракта системада беренче интеграл - саклану кануны бар:

$I=\left({\vec {\psi }}({\vec {q}},\;t);\;{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\vec {q}}}}}\right)=\sum _{i=1}^{n}\psi _{i}({\vec {q}},\;t){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.$

Вакытны исәпкә алсак:

$g^{s}({\vec {q}})={\vec {q}}_{0}+s{\vec {\psi }}({\vec {q}},\;t)$

$g^{s}(t)=t_{0}+s\xi ({\vec {q}},\;t)$

Шуннан саклану кануны - беренче интеграл:

$I=\xi L+\left({\vec {\psi }}-\xi {\dot {\vec {q}}};\;{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\vec {q}}}}}\right)$

Кырның теориясе

Нөтер теоремасы чиксез ирек дәрәҗәләре белән системаларны тасвирлый ала, мисал итеп: гравитацион һәм электромагнитик кырлар өчен кулланылып була.

Лагранжиан n (сан) потенциалга бәйле булсын, ә потенциаллар k координатка бәйле булсын, шул очракта тәэсирнең функционалы болай күренә:

$S=\int L(A^{i},\;\partial _{\mu }A^{i},\;x^{\mu })\,d\Omega ,\quad i=1,\ldots ,\;n,\quad \mu =1,\;\ldots ,\;k,\quad d\Omega =dx^{1}\ldots dx^{k}.$

$g^{s}$ төркеме Лагранжианны саклаган очракта, түбәндәге вектор саклана:

$J^{\mu }=\left({\frac {d}{ds}}g^{s}A^{i}\right){\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }A^{i})}},$

Шушы вектор Нөтер агымы векторы дип йөртелә

Биредә Эйнштейн килешүе үтәлә: $\partial _{\mu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}$

Нөтер агымы векторы саклануның мәгънәсе:

$\ \partial _{\mu }J^{\mu }=0,$

Шуңа күрә теләгән кайсы йомык өслек аша $J$ агымы нульгә тигез. Даими вакытның гипер-яссылыгы аша $J$ агымы да даими була, ләкин кыр чиксезлектә бик тиз төшергә тиеш.

Классик кырның теориясендә электромагнит кыры өчен энергия-импульсның тензоры шул үзлеккә ия, вакуумда лагранжиан координатларга бәйле түгел, шуңа күрә энергия-импульсның агымы саклана.

Әдәбият

• Перевод статьи Нётер на английский
• Статья о Теореме Нётер, by John Baez (ингл.)
• E. Noether’s Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws by Nina Byers
• Теорема Нётер на MathPages. (ингл.)
• Symmetric energy-momentum tensor in Maxwell, Yang-Mills, and Proca theories obtained using only Noether’s theorem. (ингл.)
• Giachetta G., Mangiarotti L., Sardanashvily G., On the notion of gauge symmetries of generic Lagrangian field theory. — J. Math. Phys. 50 (2009) 012903; arXiv 0807.3003.