Метрик тензор

Метрик тензор яки метрика - скаляр тапкырчыгышны, кәкре сызыкларны, кәкре сызыклар арасындагы почмакларны билгели торган шома күп төрлелектә (0,2) ранглы тензорның кыры.

Шварцшильд метрикасы - Фламм параболоиды (әйләнми торган, коргысыз кара тишекнең гравитацион кыры һәм сферик симметрияле массив җисемнең гравитацион кыры метрикасы)

Өслекнең аерым очрагында метрика беренче квадратик форма дип атала.

Гомуми чагыштырмалылык теориясендә метрика - физик фәза-вакытның дүрт үлчәмле күп төрлелегендә фундаменталь физик кыр (гравитацион кыр) буларак карала. Шулай ук гравитациянең биметрик теорияләре бар.

Биредә һәркайда кабатлана торган индекслар белән формулалар Эйнштейн килешүенә буйсына.

Тасвир

Гадәттә метрик тензор локаль координатларда $x^{1},x^{2},\dots ,x^{n}$ ковариант тензорның кыры $g_{ij}\$ буларак билгеләнә, аның ярдәмендә вектор кырларының скаляр тапкырчыгышы билгеләнә:

$\partial _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$:

$\left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle =g_{ij}.$

Теләгән вектор кырлары өчен скаляр тапкырчыгыш түбәндәгечә формула буенча исәпләнә:

$\left\langle v,w\right\rangle =g_{ij}v^{i}w^{j}$,

биредә $v=v^{i}\partial _{i}\ ,w=w^{i}\partial _{i}$

Мисаллар

• Евклид яссылыгында метрик тензор:
  • Турыпочмаклы Декарт координатларында берәмлек масштабында метрик тензор даими һәм берәмлек матрицасына туры килә:

$g={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ g_{ij}=\delta _{ij}$

• • Поляр координатларда:$(r,\theta )$

    $g={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}\$

• Метрик тензор сферада, сферик координатларда $(\theta ,\varphi )$:

$g={\begin{bmatrix}R^{2}&0\\0&R^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.$

• Метрик тензор өч үлчәмле Евклид фәзасы өчен:

Турыпочмаклы Декарт координатларында берәмлек масштабында метрик тензор даими һәм берәмлек матрицасына туры килә:

$g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \ g_{ij}=\delta _{ij}$

• Сферик координатларда

$(r,\theta ,\phi )$:

$g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.$

• Әйләнми торган, коргысыз кара тишекнең гравитацион кыры һәм сферик симметрияле массив җисемнең гравитацион кыры метрикасы - Шварцшильд метрикасы $(t,\;r,\;\theta ,\;\varphi )$ координатларында:

$g={\begin{bmatrix}\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}\right)&0&0&0\\0&-\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}\right)^{-1}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.$

биредә $r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}$ — гравитацион радиус

Интервал : $ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}\right)}}-r^{2}\left(\sin ^{2}\,\theta d\varphi ^{2}+d\theta ^{2}\right),$

массив җисемнең гравитацион кырында r_s < r,

0 < $\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)$ < 1

димәк массив җисемнең гравитацион кырында вакыт әкренрәк бара.

Метрика һәм күләм

Метрик тензорның билгеләгече $|\det\{g_{ij}\}|$ базис векторындагы параллелепипедның күләме квадратынына тигез. Шуңа күрә ${\sqrt {|\det\{g_{ij}\}|}}$ зурлыгы күләмне исәпләүдә һәм күләм буенча интеграл табуда зур роль уйный.

Ниндидер скалярдан интеграл табуда метрик тензорның билгеләгечен исәпкә алырга кирәк (нәтиҗә инвариант булсын өчен):

$S=\int s(x)\,d\Omega =\int s(x){\sqrt {|\det\{g_{ij}\}|}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,\ldots \,dx^{n},$

биредә $d\Omega$ n-үлчәмле күләмнең элементы

Әдәбият

• Акивис М. А., Гольдберг В. В. Тензорное исчисление. — М.: Наука, 1969;
• Димитриенко Ю. И. Тензорное исчисление: Учеб. пособие. — М.: Высшая школа, 2001. — 576 с. ISBN 5-06-004155-7.
• Коренев Г. В. Тензорное исчисление: Учеб. пособие. — М.: Издательство МФТИ, 2000. — 240 с. — ISBN 5-89155-047-4.
• Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления (9-е издание). — М.: Наука, 1965;
• Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. — М.: Физматлит, 1963;
• Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. — М.: ИЛ, 1960;
• Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу: Учеб. пособие. (3-е изд.). — М.: Изд-во МГУ, 1986;
• Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ (3-е издание). — М.: Наука, 1967;
• Шарипов Р. А. Быстрое введение в тензорный анализ. — БашГУ.