Фурье рәвешүзгәртүе

Фурье рәвешүзгәртүе (ℱ билгесе) — чын үзгәрмә зурлыкка бәйле бер функциягә чын үзгәрмәгә бәйле икенче функцияне тиңләштерү операциясе.

Өстә: функция - сигнал, уңда - аның Фурье рәвеше
Аста: күчерелгән сигнал, уңда - аның Фурье рәвеше

Әлеге яңа функция чыгыш функцияне төрле ешлыклы гармоник тирбәнешләргә таркату коэффициентларын (амплитудаларын) тасвирлый. Мәсәлән музыкаль аккорд аңа кергән ноталар амплитудаларында күрсәтелеп була.

Фурье рәвешүзгәртүе интеграль тигезләмәдә бирелә:

${\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\omega }\,dx.$

шулай ук болай язылып була:

${\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx,$   теләгән чын сан ξ өчен.

Фурье кире рәвешүзгәртүе:

$f(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}(\xi )\ e^{2\pi i\xi x}\,d\xi ,$   теләгән чын сан x өчен.

Фурье рәвешүзгәртүе физикада, саннар теориясендә, комбинаторикада, сигнал эшкәртүдә, ихтималлык теориясендә, статистикада, криптографиядә, акустикада, океанологиядә, оптикада, геометриядә, медицинада, санак технологиясендә һәм бүтән өлкәләрдә киң кулланыла.

Фурье рәте

Өзлексез Фурье рәвешүзгәртүе - Фурье рәтенең гомуми нәтиҗәсе булып тора - функцияне гармоник тирбәнешләрнең чиксез суммасы төрендә күрсәтү::

$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}_{n}\,e^{inx}.$

Фурье рәте - Фурье рәвешүзгәртүенең аерым очрагы (дискрет) булып тора:

${\hat {f}}(\omega )={\sqrt {2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}_{n}\delta (\omega -n).$

Функциянең Фурье рәте һәм аңа туры килүче ешлыклар спектры - Фурье рәвеше (дельта-функцияләр, зәңгәр пиклар)

Үзлекләре

$f(t)$ һәм $g(t)$ функцияләренең $F(\omega )$ һәм $G(\omega )$ Фурье рәвешүзгәртүләре түбәндәгечә бәйләнгән:

	Функция	Фурье рәвешүзгәртүе	Искәрмәләр
1	$af(t)+bg(t)$	$aF(\omega )+bG(\omega )$	Сызыклылык
2	$f(t-a)$	$e^{-i\omega a}F(\omega )$	Кичегү
3	$e^{iat}f(t)$	$F(\omega -a)$	Ешлыклар күчеше
4	$f(at)$	$|a|^{-1}F\left({\frac {\omega }{a}}\right)$	Әгәр $a$ зур булса, $f(at)$ 0 тирәсендә була һәм $|a|^{-1}F\left({\frac {\omega }{a}}\right)$ яссы була
5	${\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}$	$(i\omega )^{n}F(\omega )$
6	$t^{n}f(t)$	$i^{n}{\frac {d^{n}F(\omega )}{d\omega ^{n}}}$
7	$(f*g)(t)$	${\sqrt {2\pi }}F(\omega )G(\omega )$	$f*g$ - математик төрү дип билгеләнә
8	$f(t)g(t)$	${\frac {(F*G)(\omega )}{\sqrt {2\pi }}}$
9	$\delta (t)$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$	$\delta (t)$ - Дельта-функция
10	$1$	${\sqrt {2\pi }}\delta (\omega )$
11	$t^{n}$	$i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )$
12	$e^{iat}$	${\sqrt {2\pi }}\delta (\omega -a)$
13	$\cos(at)$	${\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}$	$\cos(at)={\frac {1}{2}}\left(e^{iat}+e^{-iat}\right)$ Эйлер формуласыннан чыга
14	$\sin(at)$	${\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2i}}$
15	$\exp(-at^{2})$	${\frac {1}{\sqrt {2a}}}\exp \left({\frac {-\omega ^{2}}{4a}}\right)$	Гаусс бүленеше үз Фурье рәвешенә тигез
16	$W{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\mathrm {sinc} (Wt)$	$\mathrm {rect} \left({\frac {\omega }{2W}}\right)$
17	${\frac {1}{t}}$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )$
18	${\frac {1}{t^{n}}}$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )$
19	$\operatorname {sgn}(t)$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}(i\omega )^{-1}$
20	${\sqrt {2\pi }}\theta (t)$	${\frac {1}{i\omega }}+\pi \delta (\omega )$	$\theta (t)$ — Хевисайд функциясе.

Гомуми очрак

Фурье рәвешүзгәртүе бар гомумиләштерелгән функцияләр өчен кулланылып була, чөнки Фурье рәвешүзгәртүенең үзлекләре түбәндәгечә бирелә:

• ${\widehat {(\alpha f+\beta g)}}=\alpha {\hat {f}}+\beta {\hat {g}}.$

  $\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|{{\hat {f}}(w)}|^{2}\,dw.$

• $f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(w)e^{ix\omega }\,dw$
• Төрү хакында теорема: әгәр $f,\;g\in L_{1}(\mathbb {R} )$ булса, шул очракта

${\widehat {(f\ast g)}}={\sqrt {2\pi }}{\widehat {f}}{\widehat {g}}$,

биредә

$(f\ast g)(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t-s)g(s)\,ds.$

• ${\widehat {(f')}}=i\omega {\widehat {f}}.$

шуннан:

${\widehat {(f^{(n)})}}=(i\omega )^{n}{\widehat {f}}.$

• Күчеш.

${\widehat {f(x-x_{0})}}=e^{-i\omega x_{0}}{\hat {f}}(w).$

• Сузу.

${\widehat {f(ax)}}=|a|^{-1}{\hat {f}}(w/a).$

Мәсәлән дельта-функциянең Фурье рәвешүзгәртүен исәплик:

$\langle {\hat {\delta }},\;\varphi \rangle =\langle \delta ,\;{\hat {\varphi }}\rangle =\left\langle \delta ,\;{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)e^{-i\omega x}\,dx\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\cdot 1\,dx=\left\langle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},\;\varphi \right\rangle .$

шулай итеп, дельта-функциянең Фурье рәвешүзгәртүе - константа булып чыга: ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$.

Әдәбият

• Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — 188 с.
• Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.
• Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М.: «Мир», 1965. — Т. 1.
• Афонский А. А., Дьяконов В. П. Цифровые анализаторы спектра, сигналов и логики / Под ред. проф. В. П. Дьяконова. — М.: СОЛОН-Пресс, 2009. — С. 248. — ISBN 978-5-913-59049-7.
• Дьяконов В. П. MATLAB 6.5 SP1/7.0 + Simulink 5/6. Обработка сигналов и проектирование фильтров. — М.: СОЛОН-Пресс, 2005. — С. 576. — ISBN 5-980-03206-1.
• Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — 2-е изд. — СПб.: Питер, 2006. — С. 751. — ISBN 5-469-00816-9.
• М. А. Павлейно, В. М. Ромаданов. Спектральные преобразования в MatLab. — СПб., 2007. — С. 160. — ISBN 978-5-983-40121-1