Тейлор рәте

Тейлор рәте - функцияне дәрәҗәле функцияләрнең чиксез суммасына таркату.

Тейлор үз эшен бастырганга кадәр шул рәтне 17 гасырда Ньютон һәм Герегори кулланганнар.

ноктасында чиксез рәвештә дифференциалана торган функциясенең Тейлор рәте болай бирелә:

= =

биредә - параметр

Экспоненциаль фунция ex - зәңгәр төстә, Тейлор рәтенең 0...n+1 әгъзалары (кызыл төстә) экспонентага омтыла

булган очракта Маклорен рәте дип йөртелә

Әгәр ноктасында функциясе чиксез туры килүче дәрәҗәле функциональ рәт : төрендә язылып булса, әлеге функция - аналитик функция дип атала.

Тейлор рәтенең җыелучанлык өлкәсеҮзгәртү

Әгәр билгеләнгән өлкәдә аналитик функция үз Тейлор рәтенә тигез булса, ул өлкә - Тейлор рәтенең җыелучанлык өлкәсе дип атала.

Мәсәлән:   функциясе Тейлор рәтенә таркатылып була:   (билгеле геометрик прогрессия)

Ләкин бу функция   ноктада билгеләнмәгән, шуңа күрә Тейлор рәте тик   өлкәсендә җыела.

Тейлор рәтенең җыелучанлык радиусы Даламбер формуласында билгеләнә:

 .

Тейлор тигезләмәсеҮзгәртү

Әгәр   функциясе   һәм   арасындагы кисемтәдә   чыгарылмага ия булса, шунда   ноктасы янында функцияне болай таркатып була:

 

икенче әгъза - калдык әгъза дип атала

Калдык әгъза бирничә формада бирелеп була:

  • Лагранж:  
  • Коши:  
  • интеграль формада:  

Кайбер функцияләрнең Маклорен рәтләреҮзгәртү

Тейлор рәте   булган очракта Маклорен рәте дип йөртелә:

  • Экспонента:  
  • Натураль логарифм:   барлык   өчен
  • Ньютон биномы:   для всех   һәм барлык комплекс   өчен , биредә  
    • Квадрат тамыр:   бар   өчен
    •   барлык   өчен
    • Чикле геометрик рәт:   бар   өчен
  • Тригонометрик функцияләр:
    • Синус:  
    • Косинус:  
    • Тангенс:   барлык   өчен,   — Бернулли саннары
    • Секанс:   барлык   өчен
    • Арксинус:   барлык   өчен[1]
    • Арккосинус:   барлык   өчен
    • Арктангенс:   барлык   өчен
  • Гиперболик функцияләр:
    •  
    •  
    •   барлык   өчен
    •   барлык   өчен
    •   барлык   өчен

ӘдәбиятҮзгәртү

  • Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ, ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004.
  • Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
  • Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф. Высшая математика. Первый семестр, Интерактивный компьютерный учебник.
  • Петрова С. С., Романовска Д. А. К истории открытия ряда Тэйлора. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1980. — № 25. — С. 10-24.
  • Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике, изд.: АЙРИС-пресс, 2002.
  1. При значении x, близком к 1, эта расчётная формула даёт большую погрешность. Поэтому можно воспользоваться формулой   где