Эйлер бердәйлеге
үзгәртү
Әлеге өлкәдә Эйлер бердәйлеге үтәлә:
ζ ( s ) = ∏ p 1 1 − p − s {\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}} ,тапкырчыгыш p {\displaystyle \displaystyle p} - гади саннар буенча алына
Зета функциясен исәпләү өчен берничә үзлекләр бар:
Риман зета-функциясе комплекс яссылыкта 2 ζ ( 2 m ) = ( − 1 ) m + 1 ( 2 π ) 2 m ( 2 m ) ! B 2 m {\displaystyle 2\zeta (2m)=(-1)^{m+1}{\frac {(2\pi )^{2m}}{(2m)!}}B_{2m}} , биредә B 2 m {\displaystyle \displaystyle B_{2m}} — Бернулли саннары .Мәсәлән ζ ( 2 ) = π 2 6 , ζ ( 3 ) = − ψ ( 2 ) ( 1 ) 2 , ζ ( 4 ) = π 4 90 , ζ ( 6 ) = π 6 945 , ζ ( 8 ) = π 8 9450 {\displaystyle \zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}},\ \ \zeta (3)=-{\frac {\psi ^{(2)}(1)}{2}},\ \ \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}},\ \ \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}},\ \ \zeta (8)={\frac {\pi ^{8}}{9450}}} ,
биедә ψ {\displaystyle \psi } - полигамма -функция ;
Re s > 1 {\displaystyle \operatorname {Re} \,s>1} өчен:
1 ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n s {\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}} , где μ ( n ) {\displaystyle \displaystyle \mu (n)} — Мөбиус функциясе
ζ ( 2 s ) ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ λ ( n ) n s {\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}} , биредә λ ( n ) {\displaystyle \displaystyle \lambda (n)} — Лиувил функциясе
ζ 2 ( s ) = ∑ n = 1 ∞ τ ( n ) n s {\displaystyle \zeta ^{2}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)}{n^{s}}}} , биредә τ ( n ) {\displaystyle \displaystyle \tau (n)} — n {\displaystyle \displaystyle n} санының бүлүчеләр саны
ζ ( s ) ζ ( 2 s ) = ∑ n = 1 ∞ | μ ( n ) | n s {\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}}
ζ 2 ( s ) ζ ( 2 s ) = ∑ n = 1 ∞ 2 ν ( n ) n s {\displaystyle {\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\nu (n)}}{n^{s}}}} , биредә ν ( n ) {\displaystyle \displaystyle \nu (n)} — n {\displaystyle \displaystyle n} санының бүлүчеләр саны
ζ 3 ( s ) ζ ( 2 s ) = ∑ n = 1 ∞ τ ( n 2 ) n s {\displaystyle {\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n^{2})}{n^{s}}}}
ζ 4 ( s ) ζ ( 2 s ) = ∑ n = 1 ∞ ( τ ( n ) ) 2 n s {\displaystyle {\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\tau (n))^{2}}{n^{s}}}}
ζ ( s ) {\displaystyle \displaystyle \zeta (s)} s = 1 {\displaystyle \displaystyle s=1} ноктасында котыпка ия һәм чигереше 1 тигез
s ≠ 0 , s ≠ 1 {\displaystyle \displaystyle s\neq 0,s\neq 1} өчен
ζ ( s ) = 2 s π s − 1 sin ( π s 2 ) Γ ( 1 − s ) ζ ( 1 − s ) {\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)} ,биредә Γ ( z ) {\displaystyle \displaystyle \Gamma (z)} — Эйлер гамма-функциясе . функция өчен
ξ ( s ) = 1 2 π − s / 2 s ( s − 1 ) Γ ( s 2 ) ζ ( s ) {\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}\pi ^{-s/2}s(s-1)\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)} , ζ ( s ) {\displaystyle \displaystyle \zeta (s)} кси-функция , :
ξ ( s ) = ξ ( 1 − s ) {\displaystyle \displaystyle \ \xi (s)=\xi (1-s)} .
Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешённая проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2 ..
Тахтаджян Л.А. Квантовая механика для математиков / Перевод с английского к.ф.-м.н. С.А. Славнов. — Изд. 2-е. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. — 496 с. — ISBN 978-5-93972-900-0 .