Чигереш (комплекс анализ)

Чигереш комплекс анализда - локаль үзлекләрен тасвирлаучы функциянең махсус объекты.

$a$ ноктасында $f(z)$ функциясенең чигереше түбәндәге сан атала:

$\mathop {\mathrm {Res} } _{a}\,f(z)=\lim _{\rho \to 0}{1 \over {2\pi i}}\int \limits _{|z-a|=\rho }\!f(z)\,dz$.

Чигереш Лоран рәтенең $f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$

$c_{-1}$ коэффициентына тиң була.

Чиксезлектә чигереш: :

$\mathop {\mathrm {Res} } _{\infty }\,f(z)=-\lim _{\rho \to \infty }{1 \over {2\pi i}}\int \limits _{|z|=\rho }\!f(z)\,dz$.

Һәм ул Лоран рәтенең -1 нче коэффициентына тигез:

$\mathop {\mathrm {Res} } _{\infty }\,f(z)=-c_{-1}$.

Логарифмик чигереш

$f(z)$ функциясенең  $L$.контурына карата логарифмик чигереше түбәндәге интеграл атала:

${1 \over {2\pi i}}\oint \limits _{L}\!{f^{\prime }(z) \over f(z)}\,dz$

Исәпләү

• Алынучан махсус ноктада чигереш нульга тигез, ләкин чиксезлектә бу дөрес түгел. Мәсәлән:

$f(z)={\frac {1}{z}}$

$\mathop {\mathrm {Res} } _{\infty }\,{\frac {1}{z}}=-1$

${\frac {dz}{z}}$ нульда һәм чиксезлектз махсус нокталарына ия

• $n$ дәрзҗәле $a$ ноктасында чигереш болай исәпләнә:

$\mathop {\mathrm {Res} } _{a}\,f(z)={1 \over (n-1)!}\lim _{z\to a}{{d^{(n-1)} \over dz^{(n-1)}}[(z-a)^{n}f(z)]}$,

аерым очрак: $n=1$

$\mathop {\mathrm {Res} } _{a}\,f(z)=\lim _{z\to a}{(z-a)f(z)}$.

• Әгәр $f(z)={\frac {g(z)}{h(z)}}$ $a$ ноктасында гади котыпка ия икән чигереш гадирәк исәпләп була:

$\mathop {\mathrm {Res} } _{a}\,f(z)={\frac {g(a)}{h^{\prime }(a)}}$.

• Махсус аерым нокталар өчен Лоран рәте кулланыла:. Мәсәлән, $\mathop {\mathrm {Res} } _{0}\,e^{1/z}=\mathop {\mathrm {Res} } _{0}\,\left(1+{\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2!z^{2}}}+\ldots \right)=1$

Чигерешләр теоремасы

Әгәр $f$ функциясе ниндидер йомык ${\overline {G}}\subset \mathbb {C}$ өлкәсендә аналитик булса, ләкин кайбер $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ махсус нокталарында функция аналитик булмый, шул очракта түбәндәге тигезләмә үтәлә:

$\int \limits _{\partial G}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\mathop {\mathrm {res} } _{z=a_{k}}f(z)$,

биредә $\mathop {\mathrm {res} } _{z=a_{k}}f$  —  

$a_{k}$ ноктасында $f$ функциясенең чигереше

Нәкъ әлеге теорема ярдәмендә катлаулы интеграллар табып була.

Мәсәлән:

Интеграл табу контуры.

Интеграл

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx$

$\int \limits _{C}{f(z)}\,dz=\int \limits _{C}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz.$

${\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}$	${}={\frac {e^{itz}}{2i}}\left({\frac {1}{z-i}}-{\frac {1}{z+i}}\right)$
	${}={\frac {e^{itz}}{2i(z-i)}}-{\frac {e^{itz}}{2i(z+i)}},$

Чигереш:

$\operatorname {res} _{z=i}f(z)={e^{-t} \over 2i}.$

$\int \limits _{C}f(z)\,dz=2\pi i\,\operatorname {res} _{z=i}f(z)=2\pi i{e^{-t} \over 2i}=\pi e^{-t}.$

$\int \limits _{\mbox{straight}}+\int \limits _{\mbox{arc}}=\pi e^{-t}\,.$

$\int \limits _{-a}^{a}=\pi e^{-t}-\int \limits _{\mbox{arc}}.$

$\int \limits _{\mbox{arc}}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz\rightarrow 0;\quad a\rightarrow \infty .$

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-t}.$

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{t},$

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.$

Бу интеграл ихтималлык теориясендә бик мөһим була һәм тик чигерешләр ярдәмендә исәпләнә.

Тригонометрик функциядән билгеләнгән интеграл табу

$\int \limits _{0}^{2\pi }R\!(\sin \varphi ;\;\cos \varphi )\,d\varphi$ төрендәге функциядән интеграл табу өчен Эйлер тигезләмәсе $z=e^{i\varphi }$ кулланып исәпләргә була:

$\int \limits _{0}^{2\pi }\!R(\sin \varphi ,\;\cos \varphi )\,d\varphi =2\pi i\sum \mathop {\mathrm {Res} } _{z=z_{k}}R(z)$.

Чиксез өлкәдә интеграл табу

Чигерешләр ярдәмендә чиксез өлкәләге интеграл табу өчен түбәндәге тигезләмәләр кулланыла:

1. $\lim _{z\to \infty }zf(z)=0$ өчен

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!f(x)\,dx=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\mathop {\mathrm {Res} } _{z=z_{k}}f(z)$.

2. $\lim _{z\to \infty }zf(z)=0$ һәм $\alpha >0$ өчен

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!f(x)e^{i\alpha x}\,dx=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\mathop {\mathrm {Res} } _{z=z_{k}}f(z)e^{i\alpha z}$

Әдәбият

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.