Лоран рәте

Лоран рәте — комплекс саннар кырында чиксез бөтен дәрәҗәле ике яклы рәт:

Лоран рәте махсус нокта а (рәсемдә с) һәм интеграл табу юлы γ карата билгеләнә

$\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-a)^{n},$ биредә $z,c_{n},a\in \mathbb {C}$ (комплекс саннар)

Әлеге рәт ике рәтнең суммасы булып тора:

1. $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ — Лоран рәтенең уңай өлеше, ул регуляр яки тейлор сыман дип атала
2. $\sum _{n=-\infty }^{-1}{c_{n}}{(z-a)^{n}}$ — Лоран рәтенең тискәре өлеше, ул төп өлеш дип атала

Әгәр регуляр һәм төп өлешләре җыелалар икән, Лоран рәте җыелучан дип атала. Рәт француз математигы Пьер Лоран хөрмәтенә аталган.

Лоран рәтенең җыелучанлык өлкәсе боҗра:

$D=\{z\in \mathbb {C} \mid r<|z-a|<R<\infty \}$ булып тора, әлеге боҗрада комплекс функция Лоран рәтенә таркатыла:

$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$

ә коэффициентлар болай исәпләнә:

$c_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)\,\mathrm {d} z}{(z-a)^{n+1}}}.\,$

биредә $\gamma (t)=a+\rho e^{it}$, $t\in [0,2\pi ]$, $r<\rho <R$ — җыелучанлык боҗрасы эчендә a үзәгендәге теләгән әйләнә.

Лоран теоремасы

Теләгән бер урынлы аналитик функция $f(z)$ $D=\{z\in \mathbb {C} \mid r<|z-a|<R<\infty \}$ боҗрасында җыелучан Лоран рәте белән күрсәтелеп була.

$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$

Лоран рәтенең төп өлеше аерым махсус ноктаның төрен билгели:

• Алынучан махсус нокта -Лоран рәте төп өлеше 0-га тигез
• Котып - Лоран рәте төп өлеше берничә нульсез әгъзага ия
• Җитди махсус нокта - Лоран рәте төп өлеше чиксез нульсез әгъзага ия

Чигереш

Лоран рәте, аеруча аның -1 нче әгъзасы катлаулы интеграллар табуда уңайлы кулланыла.

$a$ ноктасында $f(z)$ функциясенең чигереше түбәндәге сан атала:

$\mathop {\mathrm {Res} } _{a}\,f(z)=\lim _{\rho \to 0}{1 \over {2\pi i}}\int \limits _{|z-a|=\rho }\!f(z)\,dz$.

Чигереш Лоран рәтенең $f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$

$c_{-1}$ коэффициентына тиң була.

Чиксезлектә чигереш: :

$\mathop {\mathrm {Res} } _{\infty }\,f(z)=-\lim _{\rho \to \infty }{1 \over {2\pi i}}\int \limits _{|z|=\rho }\!f(z)\,dz$.

Һәм ул Лоран рәтенең -1 нче коэффициентына тигез:

$\mathop {\mathrm {Res} } _{\infty }\,f(z)=-c_{-1}$.

Чигерешләр теоремасы

Әгәр $f$ функциясе ниндидер йомык ${\overline {G}}\subset \mathbb {C}$ өлкәсендә аналитик булса, ләкин кайбер $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ махсус нокталарында функция аналитик булмый, шул очракта түбәндәге тигезләмә үтәлә:

$\int \limits _{\partial G}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\mathop {\mathrm {res} } _{z=a_{k}}f(z)$,

биредә $\mathop {\mathrm {res} } _{z=a_{k}}f$  —  

$a_{k}$ ноктасында $f$ функциясенең чигереше

Нәкъ әлеге теорема ярдәмендә катлаулы интеграллар табып була.

Мәсәлән:

Интеграл табу контуры.

Интеграл

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx$

$\int \limits _{C}{f(z)}\,dz=\int \limits _{C}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz.$

${\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}$	${}={\frac {e^{itz}}{2i}}\left({\frac {1}{z-i}}-{\frac {1}{z+i}}\right)$
	${}={\frac {e^{itz}}{2i(z-i)}}-{\frac {e^{itz}}{2i(z+i)}},$

Чигереш:

$\operatorname {res} _{z=i}f(z)={e^{-t} \over 2i}.$

$\int \limits _{C}f(z)\,dz=2\pi i\,\operatorname {res} _{z=i}f(z)=2\pi i{e^{-t} \over 2i}=\pi e^{-t}.$

$\int \limits _{\mbox{straight}}+\int \limits _{\mbox{arc}}=\pi e^{-t}\,.$

$\int \limits _{-a}^{a}=\pi e^{-t}-\int \limits _{\mbox{arc}}.$

$\int \limits _{\mbox{arc}}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz\rightarrow 0;\quad a\rightarrow \infty .$

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-t}.$

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{t},$

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.$

Бу интеграл ихтималлык теориясендә бик мөһим була һәм тик чигерешләр ярдәмендә исәпләнә.

Әдәбият

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.