Әлеге өлкәдә Эйлер бердәйлеге үтәлә:
ζ
(
s
)
=
∏
p
1
1
−
p
−
s
{\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
тапкырчыгыш
p
{\displaystyle \displaystyle p}
Зета функциясен исәпләү өчен берничә үзлекләр бар:
Риман зета-функциясе комплекс яссылыкта
2
ζ
(
2
m
)
=
(
−
1
)
m
+
1
(
2
π
)
2
m
(
2
m
)
!
B
2
m
{\displaystyle 2\zeta (2m)=(-1)^{m+1}{\frac {(2\pi )^{2m}}{(2m)!}}B_{2m}}
B
2
m
{\displaystyle \displaystyle B_{2m}}
Бернулли саннары .Мәсәлән
ζ
(
2
)
=
π
2
6
,
ζ
(
3
)
=
−
ψ
(
2
)
(
1
)
2
,
ζ
(
4
)
=
π
4
90
,
ζ
(
6
)
=
π
6
945
,
ζ
(
8
)
=
π
8
9450
{\displaystyle \zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}},\ \ \zeta (3)=-{\frac {\psi ^{(2)}(1)}{2}},\ \ \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}},\ \ \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}},\ \ \zeta (8)={\frac {\pi ^{8}}{9450}}}
биедә
ψ
{\displaystyle \psi }
полигамма -функция ;
Re
s
>
1
{\displaystyle \operatorname {Re} \,s>1}
1
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
μ
(
n
)
n
s
{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}
μ
(
n
)
{\displaystyle \displaystyle \mu (n)}
Мөбиус функциясе
ζ
(
2
s
)
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
λ
(
n
)
n
s
{\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}}
λ
(
n
)
{\displaystyle \displaystyle \lambda (n)}
ζ
2
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
τ
(
n
)
n
s
{\displaystyle \zeta ^{2}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)}{n^{s}}}}
τ
(
n
)
{\displaystyle \displaystyle \tau (n)}
n
{\displaystyle \displaystyle n}
ζ
(
s
)
ζ
(
2
s
)
=
∑
n
=
1
∞
|
μ
(
n
)
|
n
s
{\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}}
ζ
2
(
s
)
ζ
(
2
s
)
=
∑
n
=
1
∞
2
ν
(
n
)
n
s
{\displaystyle {\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\nu (n)}}{n^{s}}}}
ν
(
n
)
{\displaystyle \displaystyle \nu (n)}
n
{\displaystyle \displaystyle n}
ζ
3
(
s
)
ζ
(
2
s
)
=
∑
n
=
1
∞
τ
(
n
2
)
n
s
{\displaystyle {\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n^{2})}{n^{s}}}}
ζ
4
(
s
)
ζ
(
2
s
)
=
∑
n
=
1
∞
(
τ
(
n
)
)
2
n
s
{\displaystyle {\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\tau (n))^{2}}{n^{s}}}}
ζ
(
s
)
{\displaystyle \displaystyle \zeta (s)}
s
=
1
{\displaystyle \displaystyle s=1}
чигереше 1 тигез
s
≠
0
,
s
≠
1
{\displaystyle \displaystyle s\neq 0,s\neq 1}
ζ
(
s
)
=
2
s
π
s
−
1
sin
(
π
s
2
)
Γ
(
1
−
s
)
ζ
(
1
−
s
)
{\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)}
биредә
Γ
(
z
)
{\displaystyle \displaystyle \Gamma (z)}
Эйлер гамма-функциясе . функция өчен
ξ
(
s
)
=
1
2
π
−
s
/
2
s
(
s
−
1
)
Γ
(
s
2
)
ζ
(
s
)
{\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}\pi ^{-s/2}s(s-1)\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}
ζ
(
s
)
{\displaystyle \displaystyle \zeta (s)}
кси-функция , :
ξ
(
s
)
=
ξ
(
1
−
s
)
{\displaystyle \displaystyle \ \xi (s)=\xi (1-s)}
Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешённая проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2 ..
Тахтаджян Л.А. Квантовая механика для математиков / Перевод с английского к.ф.-м.н. С.А. Славнов. — Изд. 2-е. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. — 496 с. — ISBN 978-5-93972-900-0 . 
