Градиент (лат. gradiens , gradientis - атлаучы, үсүче) —
φ
{\displaystyle \varphi }
Градиент операциясе үрне (сулда, өстән карап) векторлар кырына (уңда) әверелдерә: барлык векторлар түбәгә юнәлдерелгән, үр авышлыгы арткан саен вектор озыная бара. 1873 елда Җеймс Максвелл тарафыннан кертелгән.
Градиент болай билгеләнә:
g
r
a
d
φ
{\displaystyle \mathrm {grad} \,\varphi }
яки набла операторы ярдәмендә:
∇
φ
{\displaystyle \nabla \varphi }
Математик билгеләмә
үзгәртү
Өч үлчәмле фәза өчен
φ
=
φ
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \varphi =\varphi (x,y,z)}
∂
φ
∂
x
,
∂
φ
∂
y
,
∂
φ
∂
z
.
{\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}.}
яки турыпочмак Декарт коордиантларында
e
→
x
,
e
→
y
,
e
→
z
{\displaystyle {\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z}}
g
r
a
d
φ
=
∇
φ
=
∂
φ
∂
x
e
→
x
+
∂
φ
∂
y
e
→
y
+
∂
φ
∂
z
e
→
z
.
{\displaystyle \mathrm {grad} \,\varphi =\nabla \varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\vec {e}}_{x}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\vec {e}}_{y}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\vec {e}}_{z}.}
Күп үзгәрмәле
φ
{\displaystyle \varphi }
n
{\displaystyle n}
(
∂
φ
∂
x
1
,
…
,
∂
φ
∂
x
n
)
,
{\displaystyle \left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}},\;\ldots ,\;{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\right),}
f
{\displaystyle f}
d
x
{\displaystyle d\mathbf {x} }
скаляр тапкырчыгышы тулы дифференциалга тигез:
d
f
=
∂
f
∂
x
1
d
x
1
+
∂
f
∂
x
2
d
x
2
+
∂
f
∂
x
3
d
x
3
+
…
=
∑
i
∂
f
∂
x
i
d
x
i
=
(
g
r
a
d
f
⋅
d
x
)
.
{\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\,dx_{2}+{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}}\,dx_{3}+\ldots =\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,dx_{i}=(\mathrm {grad} \,\mathbf {f} \cdot d\mathbf {x} ).}
Теләгән кайсы коорддинатларда болай языла:
d
f
=
∑
i
(
∂
i
f
)
d
x
i
{\displaystyle df=\sum _{i}(\partial _{i}f)\,dx^{i}}
Эйнштейн кагыйдәсен исәпкә алып:
d
f
=
(
∂
i
f
)
d
x
i
{\displaystyle df=(\partial _{i}f)\,dx^{i}}
Интеграль формада болай язылып була:
∇
φ
=
lim
V
→
0
1
V
(
∬
S
φ
d
s
)
{\displaystyle \nabla \varphi =\lim \limits _{V\to 0}{\frac {1}{V}}\left(\iint \limits _{S}\varphi \,d\mathbf {s} \right)}
Сферик координатларда:
grad
U
(
r
,
θ
,
φ
)
=
∂
U
∂
r
e
r
→
+
1
r
∂
U
∂
θ
e
θ
→
+
1
r
sin
θ
∂
U
∂
φ
e
φ
→
.
{\displaystyle \operatorname {grad} \,U(r,\;\theta ,\;\varphi )={\frac {\partial U}{\partial r}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U}{\partial \theta }}{\vec {e_{\theta }}}+{\frac {1}{r\sin {\theta }}}{\frac {\partial U}{\partial \varphi }}{\vec {e_{\varphi }}}.}
Александрова Н. В. Формирование основных понятий векторного исчисления. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1982. — № 26. — С. 205-234.
Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с.
Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002)
Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с.
Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматлит, 1963, 411 с.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М.: Наука, 1966. 
