Евклид фәзасы

Евклид фәзасы — Евклидча геометриянең аксиомалары белән тасвирлана торган 3-үлчәмле фәза яки гомуми мәгънәдә: уңай тамгалы скаляр тапкырчыгыш билгеләнгән фәза.

$n$ -үлчәмле Евклид фәзасы $\mathbb {E} ^{n},$ дип билгеләнә, шулай ук $\mathbb {R} ^{n}$ билгесе кулланыла.

Математик билгеләмә

Евклид фәзасы уңай чын скаляр тапкырчыгыш барлыгы белән билгеләнә, шуннан скаляр тапкырчыгышның үзлекләре бөтен фәзага хас:

Бисызыклылык: һәр векторлар $u,v,w$ һәм һәр чын саннар $a,b$ өчен $\quad (au+bv,w)=a(u,w)+b(v,w)$ һәм $(u,av+bw)=a(u,v)+b(u,w);$
Симметриялелек: һәр векторлар $u,v$ өчен $\quad (u,v)=(v,u);$
Уңай тамгалы итеп билгеләнү: һәр $u$ өчен $\quad (u,u)\geqslant 0,$ һәм $(u,u)=0\Rightarrow u=0.$

Евклид фәзасы мисалы — $\mathbb {R} ^{n}$ координатлар фәзасы түбәндәге билгеләнгән скаляр тапкырчыгыш белән:

(x,y)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}.

Евклид фәзасында $u$ векторы озынлыгы болай табыла: ${\sqrt {(u,u)}}$ һәм $|u|$ итеп билгеләнә.

Евклид фәзасында $u$ һәм $v$ векторлары арасындагы почмак болай билгеләнә:

\varphi =\arccos \left({\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right).

Коши-Буняковский тигезсезлегеннән $\left|{\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right|\leqslant 1.$ чыгарыла, шуңа күрә $\arccos \left({\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right)$ билгеләнә.

$x$ һәм $y$ элементлары арасындагы ераклык болай билгеләнә:

d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.

Мисаллар

Евклид фәзалары мисаллары:

$1$ үлчәмле $\mathbb {E} ^{1}$ (чын туры сызык)
$2$ үлчәмле $\mathbb {E} ^{2}$ (евклид яссылыгы)
$3$ үлчәмле $\mathbb {E} ^{3}$ (3-үлчәмле евклид фәзасы)

Әдәбият

Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8.
Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986. — 304 с.