Гармоник рәт әкрен кенә җыелмый , өлешчә суммасы 100 не арттырып үтәсен өчен 1043 рәт әгъзасы кирәк.
Рәтнең аерым әгъзалары нульга омтылса да, аның суммасы җыелмый. Өлешчә суммасы болай бирелә:
s n = ∑ k = 1 n 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n {\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}
s n → ∞ {\displaystyle s_{n}\rightarrow \infty } n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } Өлешчә суммалары
үзгәртү
s 1 = 1 s 2 = 3 2 = 1 , 5 s 3 = 11 6 ≈ 1,833 s 4 = 25 12 ≈ 2,083 s 5 = 137 60 ≈ 2,283 {\displaystyle {\begin{matrix}s_{1}&=&1\\\\s_{2}&=&{\frac {3}{2}}&=&1{,}5\\\\s_{3}&=&{\frac {11}{6}}&\approx &1{,}833\\\\s_{4}&=&{\frac {25}{12}}&\approx &2{,}083\\\\s_{5}&=&{\frac {137}{60}}&\approx &2{,}283\end{matrix}}}
s 6 = 49 20 = 2 , 45 s 7 = 363 140 ≈ 2,593 s 8 = 761 280 ≈ 2,718 s 10 3 ≈ 7,484 s 10 6 ≈ 14,393 {\displaystyle {\begin{matrix}s_{6}&=&{\frac {49}{20}}&=&2{,}45\\\\s_{7}&=&{\frac {363}{140}}&\approx &2{,}593\\\\s_{8}&=&{\frac {761}{280}}&\approx &2{,}718\\\\s_{10^{3}}&\approx &7{,}484\\\\s_{10^{6}}&\approx &14{,}393\end{matrix}}}
Эйлер тигезләмәсе
үзгәртү
1740 елда Леонард Эйлер рәтнең беренче n {\displaystyle n} әгъзалары суммасы өчен тигезләмә таба:
s n = ln ( n ) + γ + ε n {\displaystyle s_{n}=\ln(n)+\gamma +\varepsilon _{n}} ,биредә γ = 0,577 2... {\displaystyle \gamma =0{,}5772...} — Эйлер — Маскерони даимие , ә ln {\displaystyle \ln } — натураль логарифм .
n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } ε n → 0 {\displaystyle \varepsilon _{n}\rightarrow 0} , шуңа күрә зур n {\displaystyle n} өчен:
s n ≈ ln ( n ) + γ {\displaystyle s_{n}\approx \ln(n)+\gamma } — Эйлер формуласы Эйлер тигезләмәсе буенча суммалар
n {\displaystyle n}
s n = ∑ k = 1 n 1 k {\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}
ln ( n ) + γ {\displaystyle \ln(n)+\gamma }
ε n {\displaystyle \varepsilon _{n}} , (%)
10
2,93
2,88
1,7
25
3,82
3,80
0,5
Төгәлрәк ассимтотик формула::
s n ≍ ln ( n ) + γ + 1 2 n − 1 12 n 2 + 1 120 n 4 − 1 252 n 6 ⋯ = ln ( n ) + γ + 1 2 n − ∑ k = 1 ∞ B 2 k 2 k n 2 k {\displaystyle s_{n}\asymp \ln(n)+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-{\frac {1}{252n^{6}}}\dots =\ln(n)+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k\,n^{2k}}}} , биредә B 2 k {\displaystyle B_{2k}} — Бернулли саннарыӘлеге рәт җыелмый.
Бәйләнгән рәтләр
үзгәртү
Гомумиләштерелгән гармоник рәт яки Дирихле рәте түбәндәге бирелә:
∑ k = 1 ∞ 1 k α = 1 + 1 2 α + 1 3 α + 1 4 α + ⋯ + 1 k α + ⋯ {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{\alpha }}}=1+{\frac {1}{2^{\alpha }}}+{\frac {1}{3^{\alpha }}}+{\frac {1}{4^{\alpha }}}+\cdots +{\frac {1}{k^{\alpha }}}+\cdots } .Дирихле рәте
α ⩽ 1 {\displaystyle \alpha \leqslant 1} булган очракта җыелмый : s n → ∞ {\displaystyle s_{n}\rightarrow \infty } n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty }
α > 1 {\displaystyle \alpha >1} булган очракта җыела α {\displaystyle \alpha } -дәрәҗәдәге Дирихле рәтенең суммасы Риман дзета-функциясенә тигез:
∑ k = 1 ∞ 1 k α = ζ ( α ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{\alpha }}}=\zeta (\alpha )} мәсәлән, ζ ( 2 ) = π 2 6 {\displaystyle \zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}} ,
Гармоник рәтнең җыелмаучанлыгы түбәндәге тигезләмәдән күренә:
ζ ( 1 + 1 n ) ∼ n {\displaystyle \zeta (1+{\frac {1}{n}})\sim n} .
s n → ∞ {\displaystyle s_{n}\rightarrow \infty } n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } Алмаш тамгалы рәт
үзгәртү
Алмаш тамгалы рәт түбәндәге күренә:
∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\;=\;1\,-\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,-\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots } Алмаш тамгалы рәт Лейбниц билгесе буенча җыела , әлеге рәт шартлы җыелучан дип атала. Аның суммасы:
1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − ⋯ = ln 2. {\displaystyle 1\,-\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,-\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots \;=\;\ln 2.} Лейбниц рәте
∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + ⋯ = π 4 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\;\;=\;\;1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,\cdots \;\;=\;\;{\frac {\pi }{4}}.}
Р. Грэхэм, Д. Кнут, О. Паташник Конкретная математика. Основание информатики — М.: Мир; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — стр. 47. — С. 703 ISBN 5-03-003773-X
Harmonic Number — from Wolfram MathWorld
Перейти к: 1 2 Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981, 718 с.
«Random Harmonic Series», American Mathematical Monthly 110, 407—416, May 2003