Гармоник рәт

Гармоник рәтҗыелмый торган чиксез гармоник рәт: натураль рәтнең саннарына кире әгъзаларның суммасы:

.

Рәт гармоник дип аталган, чөнки эскрипкә кылыннан чыгарылган -нче гармоникаларның суммасына тигез. -нче гамоника - башлангыч кылның - озынлыклы кылының төп тавышы (тон).

ҖыелмаучанлыкҮзгәртү

Гармоник рәт әкрен кенә җыелмый, өлешчә суммасы 100 не арттырып үтәсен өчен 1043 рәт әгъзасы кирәк.

Рәтнең аерым әгъзалары нульга омтылса да, аның суммасы җыелмый. Өлешчә суммасы болай бирелә:

 
   

Өлешчә суммаларыҮзгәртү

   

Эйлер тигезләмәсеҮзгәртү

1740 елда Леонард Эйлер рәтнең беренче   әгъзалары суммасы өчен тигезләмә таба:

 ,

биредә   — Эйлер — Маскерони даимие, ә   — натураль логарифм.

   , шуңа күрә зур   өчен:

  — Эйлер формуласы
Эйлер тигезләмәсе буенча суммалар
       , (%)
10 2,93 2,88 1,7
25 3,82 3,80 0,5

Төгәлрәк ассимтотик формула::

 , биредә   — Бернулли саннары

Әлеге рәт җыелмый.

Бәйләнгән рәтләрҮзгәртү

Дирихле рәтеҮзгәртү

Гомумиләштерелгән гармоник рәт яки Дирихле рәте түбәндәге бирелә:

 .

Дирихле рәте

  •   булган очракта җыелмый :    
  •   булган очракта җыела

 -дәрәҗәдәге Дирихле рәтенең суммасы Риман дзета-функциясенә тигез:

 

мәсәлән,  ,

Гармоник рәтнең җыелмаучанлыгы түбәндәге тигезләмәдән күренә:

 .
   

Алмаш тамгалы рәтҮзгәртү

Алмаш тамгалы рәт түбәндәге күренә:

 

Алмаш тамгалы рәт Лейбниц билгесе буенча җыела, әлеге рәт шартлы җыелучан дип атала. Аның суммасы:

 

Лейбниц рәте

 

ӘдәбиятҮзгәртү

  • Р. Грэхэм, Д. Кнут, О. Паташник Конкретная математика. Основание информатики — М.: Мир; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — стр. 47. — С. 703 ISBN 5-03-003773-X
  • Harmonic Number — from Wolfram MathWorld
  • Перейти к: 1 2 Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981, 718 с.
  • «Random Harmonic Series», American Mathematical Monthly 110, 407—416, May 2003