Тензор

Тензор (латинча tensus - киеренке) - бер сызыкча фәзаның элементларын икенче сызыкча фәзаның элементларына үзгәртүче сызыкча алгебраның объекты.

Икенче ранглы механик көчәнеш тензоры. Өч үлчәмле Декарт системасында тензорның компонентлары матрицаны төзи: $\scriptstyle \sigma ={\begin{bmatrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}$ Матрицаның баганалары - $\mathbf {e} _{1}$, $\mathbf {e} _{2}$, һәм $\mathbf {e} _{3}$ кубның кырларына тәэсир итүче көчләр.

Тензорларның аерым очраклары - скалярлар, векторлар, бисызыкча формалар һ.б.

Еш кына тензор исәпләве тикшерә торган тензор кыры өчен тензор кыскартмасы кулланыла.

Гадәттә тензор саннар (тензор компонентлары) белән тутырылган күп үлчәмле $X_{j_{1}j_{2}\dots j_{s}}^{i_{1}i_{2}\dots i_{r}}$ җәдвәле булып күрсәтелә, биредә d - вектор фәзасының үлчәме, анда тензор билгеләнгән, тапкырлаучылар саны - тензорның рангы яки валентлыгы дип йөртелә.

Бу тасвирлама тик базис яки координатлар системасын сайлаудан соң мөмкин була. Базис үзгәргәндә, тензорның компонентлары да үзгәрә. Тензор үзе геометрик объект буларак үзгәрми, мисал өчен вектор - тензорның очрагы - базис үзгәргәндә, компонентлары үзгәрәләр, ләкин вектор үзе үзгәрми.

Гадәттә тензор хәреф аскы (ковариант) һәм өске (контрвариант) индекслары белән билгеләнә: $X_{j_{1}j_{2}\dots j_{s}}^{i_{1}i_{2}\dots i_{r}}$.

Базис үзгәргәндә, тензорның ковариант компонентлары базис кебек үзгәрә, ә контрковариант компонентлары базиска каршы рәвештә үзгәрә.

Тензор = компонентлары җыелмасы + базис үзгәргәндә, аларның үзгәртүләр кануны.

Тензорның компонентлары

$\tau _{jk}^{i}$

Өч векторның тапкырчыгышы кебек үзгәрә:

$\ a^{i}b_{j}c_{k}$

Мисаллар

• $(0,0)$ ранглы тензор - скаляр;
• $(1,0)$ ранглы тензор - вектор (дөресрәк — контравариант вектор)
• $(0,1)$ ранглы тензор - ковектор (ковариант вектор)
• $(0,2)$ ранглы тензор - бисызыкча форма, мәсәлән, метрик тензор $g_{ij}$ орынма фәзада.
• $(1,1)$ ранглы тензор - сызыкча оператор $A:V\to V$ яки $A:V^{*}\to V^{*}$
  • Берәмлек операторы $\delta _{j}^{i}$, — $(1,1)$ ранглы тензор.
• Риман кәкрелеге $R_{\ jkl}^{i}$ = $(1,3)$-ранглы тензор, аның төрелүе — Риччи тензоры $R_{ij}$ һәм скаляр кәкрелек $R=R_{ij}g^{ij}$ : $(0,2)$-ранглы тензор һәм $(0,0)$ранглы тензор мисаллары, ягъни соңгысы — скаляр.
• Леви-Чивита символы — 3-ранглы тензор - $\varepsilon _{ijk}$.

Кагыйдәләр

• Скалярга тапкырлау - тензорның һәр компонентасы скалярга тапкырлау
• Тензорларның тапкырчыгышы:

$\sigma \otimes \tau \in T_{n+n'}^{m+m'}=T_{n}^{m}\otimes T_{n'}^{m'}.$

Компонентлары:

$P_{\ \ kl}^{ij}\ =A^{ij}B_{kl}$

• Тензорның төрелүе - тензорның валентлыгын киметүче махсус тензорлык операция:

$B_{\ kl}^{i}\ =\sum _{j}A_{\ \ jkl}^{ji}=A_{\ \ jkl}^{ji}$

• Эйнштейн килешүе: әгәр бертигез хәреф аскы һәм өске индекста очраса, димәк бу әгъза шушы индексның барлык кыйммәтләре буенча суммага тигез:

$v_{k}=a_{i}b_{k}^{i}=\sum _{i}{a_{i}b_{k}^{i}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{k}^{i}$

• Ике тензорның төрелүе:

$C_{jk}^{i}\ =\sum _{m}B_{m}^{i}A_{jk}^{m}=B_{m}^{i}A_{jk}^{m}$

• • Тензор сызыкча оператор белән төрелүе:

$u^{i}\ =\sum _{j}A_{j}^{i}v^{j}=A_{j}^{i}v^{j}$

$C_{j}^{i}\ =\sum _{k}B_{k}^{i}A_{j}^{k}=B_{k}^{i}A_{j}^{k}$

биредә һәркайда соңгы язма Эйнштейн килешүе буенча күрсәтелә

Әдәбият

• Акивис М. А., Гольдберг В. В. Тензорное исчисление. — М.: Наука, 1969;
• Димитриенко Ю. И. Тензорное исчисление: Учеб. пособие. — М.: Высшая школа, 2001. — 576 с. ISBN 5-06-004155-7.
• Коренев Г. В. Тензорное исчисление: Учеб. пособие. — М.: Издательство МФТИ, 2000. — 240 с. — ISBN 5-89155-047-4.
• Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления (9-е издание). — М.: Наука, 1965;
• Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. — М.: Физматлит, 1963;
• Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. — М.: ИЛ, 1960;
• Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу: Учеб. пособие. (3-е изд.). — М.: Изд-во МГУ, 1986;
• Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ (3-е издание). — М.: Наука, 1967;
• Шарипов Р. А. Быстрое введение в тензорный анализ. — БашГУ.