Скаляр тапкырчыгыш

Скаляр тапкырчыгыш — ике вектор өстеннән операция нәтиҗәсендә кординатлар системасына бәйсез һәм векторларның озынлыгы һәм арасындагы почмакны тасвирлаучы сан (скаляр).

Скаляр тапкырчыгышны векторлар проекциясе ярдәмендә аңлату

Х векторының озынлыгы һәм у векторының х векторына проекциясе тапкырчыгышы әлеге операциягә туры килә.

Гадәттә векторларның скаляр тапкырчыгышы болай билгеләнә:

$\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle$,

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$,

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$,

квант механикасында халәт векторы өчен шулай ук Дирак билгәләмәсе кулланыла:

$\langle a|b\rangle$.

Гадәттә скаляр тапкырчыгыш уңай итеп билгеләнгән, ягъни:

$\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle >0$ барлык $a\not =0$.

Югыйсә ул билгеләнмәгән тапкырчыгыш (тензор тапкырчыгышы) дип атала.

Алгебраик билгеләмә

Ике вектор a = [a₁, a₂, ..., a_n] һәм b = [b₁, b₂, ..., b_n] скаляр тапкырчыгышы n-үлчәмле чын фәзада болай билгеләнә:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$.

Мәсәлән, өч-үлчәмле фәзада векторлар [1, 3, −5] һәм [4, −2, −1] скаляр тапкырчыгышы болай исәпләнә:

${\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3.\end{aligned}}$

Комплекс векторлар a = [a₁, a₂, ..., a_n] һәм b = [b₁, b₂, ..., b_n] скаляр тапкырчыгышы болай билгеләнә:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overline {b_{i}}}=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots +a_{n}{\overline {b_{n}}}$.

Мәсәлән, $[1+i,2]\cdot [2+i,i]=(1+i)\cdot ({\overline {2+i}})+2\cdot {\overline {i}}=(1+i)\cdot (2-i)+2\cdot (-i)=3-i$

Геометрик билгеләмә

A • B = |A| |B| cos(θ)

Векторлар озынлыгы һәм арасындагы почмак төшенчәләре кертелгән һәм билгеләнгән очракта (классик геометриядә нәкъ шулай була), скаляр тапкырчыгышы векторларның озынлыгы һәм алар арасындагы почмак ярдәмендә билгеләнә:

$\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$

Заманча аксиоматикада баштарак скаляр тапкырчыгыш билгеләнә, ә аннан вектор озынлыгы һәм почмак чыгарыла.

Үзлекләре

• косинус теоремасы скаляр тапкырчыгыш ярдәмендә җиңел итеп чыгарыла:

  $|BC|^{2}={\vec {BC}}^{2}=({\vec {AC}}-{\vec {AB}})^{2}=\langle {\vec {AC}}-{\vec {AB}},{\vec {AC}}-{\vec {AB}}\rangle ={\vec {AC}}^{2}+{\vec {AB}}^{2}-2\langle {\vec {AC}},{\vec {AB}}\rangle =|AB|^{2}+|AC|^{2}-2|AB||AC|\cos {\hat {A}}$

• Векторлар арасындагы почмак:

  $\alpha =\arccos {\frac {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle }{\sqrt {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle \langle \mathbf {b} ,\mathbf {b} \rangle }}}$

• Векторлар арасындагы почмакны бәяләү:

  $\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ формуласында тамга почмакның косинусы белән билгеләнә (векторлар нормалары һаман уңай), шуңа күрә арасындагы почмак кысынкы булса, скаляр тапкырчыгыш > 0, ә әгәр арасындагы почмак җәенке булса, скаляр тапкырчыгыш < 0.

• Векторның проекциясе:

  $a_{e}=\langle \mathbf {a} ,\mathbf {e} \rangle =|\mathbf {a} ||\mathbf {e} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}=|\mathbf {a} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}$, чөнки $|\mathbf {e} |=1$

• ортогональлек шарты (перпендикулярлык шарты) $\mathbf {a}$ һәм $\mathbf {b}$ векторлары өчен:

$\mathbf {a} \bot \mathbf {b} \Leftrightarrow \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =0$

• Ике вектор $\mathbf {a} \$ һәм $\mathbf {b} \$ - нигезендәге параллелограмм мәйданы:

${\sqrt {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle \langle \mathbf {b} ,\mathbf {b} \rangle -\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle ^{2}}}\$

Коши — Буняковский тигезсезлеге

Сызыкча фәзада Һәр $\mathbf {x}$ һәм $\mathbf {y}$ элементлары өчен түбәндәге тигезсезлек үтәлә:

$\vert \langle x,y\rangle \vert ^{2}\leq \langle x,x\rangle \langle y,y\rangle$

Заманча билгеләмә

$\mathbb {L}$ - вектор фәзасында $\mathbb {C}$ - комплекс (яки $\mathbb {R}$ чын) саннар кыры өстеннән $\langle x,y\rangle$ скаляр тапкырчыгыш болай итеп билгеләнә - һәр пар элемент өчен түбәндәге шартлар үтәлә:

1. $\mathbb {L}$ сызыкча фәзасында һәр өч элемент $x_{1},x_{2}$ һәм $y$ һәм теләгән санннар $\alpha ,\beta$ өчен:

$\langle \alpha x_{1}+\beta x_{2},y\rangle =\alpha \langle x_{1},y\rangle +\beta \langle x_{2},y\rangle$ (сызыклылык);

1. һәр $x$ һәм $y$ өчен:

$\langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}$, биредә сызык - комплекс иярү дип билгели;

1. һәр $x$ өчен

$\langle x,x\rangle \geq 0$, һәм $\langle x,x\rangle =0$ тик $x=0$ булган очракта (скаляр тапкырчыгыш уңай).

Әдәбият

• Александрова Н. В. Формирование основных понятий векторного исчисления. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1982. — № 26. — С. 205-234.
• Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с.
• Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002)
• Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с.
• Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматлит, 1963, 411 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М.: Наука, 1966.