Функция чыгарылмасы

Функция чыгарылмасы (ноктада) — билгеләнгән ноктада функция үзгәреше тизлеген тасвирлаучы дифференциаль хисапның төп төшенчәсе.

Функция чыгарылмасы — функция артымы аргумент артымына чагыштырмасының чиге булып билгеләнә (аргумент һәм функция артымнары нульгә омтылалар).

Чикле чыгарылмасына ия булган функция ноктада дифференциаль функция дип йөртелә.

Чыгарылманы исәпләү дифференциал табу дип атала. Кире исәпләү баштагы функцияне табу (русча первообразная) яки интеграл табу дип йөртелә.

Математик тасвиры үзгәртү

Функция чыгарылмасы $~A$ түбәндәгечә күрсәтеп була:

f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .

f(x_{0}+h)=f(x_{0})+Ah+o(h)

Функция чыгарылмасы чик (lim) ярдәмендә болай күрсәтелә:

f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .

f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}.

Чыгарылмалар җәдвәле үзгәртү

Дәрәҗәле функцияләр чыгарылмалары	Тригонометрик функцияләр чыгарылмалары	Кире тригонометрик функцияләр чыгарылмалары
$\left(c\right)'=0$	$\left(\sin x\right)'=\cos x$	$\left(\arcsin x\right)'={\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\left(x^{a}\right)'=ax^{a-1}$	$\left(\cos x\right)'=-\sin x$	$\left(\arccos x\right)'=-{\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\left(a^{x}\right)'=a^{x}\ln a$	$\left(\mathrm {tg} \,x\right)'={\dfrac {1}{\cos ^{2}x}}$	$\left(\mathrm {arctg} \,x\right)'={\dfrac {1}{1+x^{2}}}$
$\left(\log _{a}x\right)'={\dfrac {1}{x\ln a}}$	$\left(\mathrm {ctg} \,x\right)'=-{\dfrac {1}{\sin ^{2}x}}$	$\left(\mathrm {arcctg} \,x\right)'=-{\dfrac {1}{1+x^{2}}}$

$\left(c\right)=\left(const\right)$
$\left(e^{x}\right)^{\left(n\right)}=e^{x}$

Геометрик мәгънә үзгәртү

Функция чыгарылмасының геометрик мәгънәсе

Әгәр функция ноктада чикле чыгарылмасына ия була икән, димәк ноктаның тирә-ягында функция сызык функциясе белән якынча тасвирланып була:

f_{l}(x)\equiv f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).

Функция $f_{l}$

f_{l}

- орынма дип йөртелә

~f'(x_{0})

- орынма почмак коэффициенты яки авышлык почмагының тангенсы

Функция чыгарылмасы функциянең мизгелдәге үзгәреш тизлеге булып тора:

v(t_{0})=s'(t_{0})

Югары буын чыгарылмалар үзгәртү

f^{(0)}(x_{0})\equiv f(x_{0}).

f^{(1)}(x_{0})\equiv f'(x_{0}).

f^{(n+1)}(x_{0})=\left(f^{(n)}\right)'(x_{0}).

Бүленмә чыгарылма үзгәртү

Күп аргументлы функция

~u=f(x,y,z)

бүленмә чыгарылма

~u''_{x^{2}}=f''_{x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0})

яки

~{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x^{2}}}

~u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})

яки

~{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x\partial y}}

~u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})

Мисаллар үзгәртү

$f(x)=x^{2}$ . димәк

f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {x^{2}-x_{0}^{2}}{x-x_{0}}}=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {(x-x_{0})(x+x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim \limits _{x\to x_{0}}(x+x_{0})=2x_{0}.

$f(x)=|x|$ . Әгәр $x_{0}\neq 0,$ димәк

f'(x_{0})=\operatorname {sgn} x_{0},

биредә $\operatorname {sgn}$ - тамга функциясе. Әгәр $x_{0}=0,$ димәк $f'_{+}(x_{0})=1,\;f'_{-}(x_{0})=-1,$ шуңа күрә $f'(x_{0})$ булмый.

Дифференциал табу кагыйдәләре үзгәртү

$C'=0$
$x'=1$
$\left(f+g\right)'=f'+g'$
$\left(fg\right)'=f'g+fg'$
$\left(Cf\right)'=Cf'$
$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$ …(g ≠ 0)
$\left({\frac {C}{g}}\right)'=-{\frac {Cg'}{g^{2}}}$ (g ≠ 0)
$\left\{{\begin{matrix}x=x(t),\\y=y(t),\end{matrix}}\;\;t\in \left[T_{1};T_{2}\right]\right.$ ,

y'_{x}={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}}=y'_{t}\cdot t'_{x}={\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}

${\frac {d}{dx}}f(g(x))={\frac {df(g)}{dg}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}=f'_{g}g'_{x}$

(fg)^{(n)}=\sum \limits _{k=0}^{n}{C_{n}^{k}f^{(n-k)}g^{(k)}},

биредә

C_{n}^{k}

$(f(x)^{g(x)})'=f(x)^{g(x)}\left(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)}}\right)(\forall x\in D_{f}:f(x)>0)$

Кайбер функцияләрдән чыгарылмалар үзгәртү

Функция $~f(x)$	$~f'(x)$ чыгарылмасы	Искәрмә
$~x^{\alpha }$	$~\alpha \cdot x^{\alpha -1}$
$~a^{x}$	$~a^{x}\cdot \ln {a}$
$~\log _{a}{x}$	$~{\frac {1}{x\cdot \ln {a}}}$
$~\sin x$	$~\cos x$
$~\cos x$	$~-\sin x$
$~\mathrm {tg} \ x$	$~{\frac {1}{\cos ^{2}{x}}}$
$~\mathrm {ctg} \ x$	$~-{\frac {1}{\sin ^{2}{x}}}$
$~\arcsin {x}$	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$~\arccos {x}$	$-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$~\mathrm {arctg} \ x$	$~{\frac {1}{1+x^{2}}}$
$~\mathrm {arcctg} \ x$	$~-{\frac {1}{1+x^{2}}}$
$~\mathrm {sh} \ x$	$~\mathrm {ch} \ x$
$~\mathrm {ch} \ x$	$~\mathrm {sh} \ x$
$~\mathrm {th} \ x$	$~{\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}\ x}}$
$~\mathrm {cth} \ x$	$~-{\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}\ x}}$